Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Q(A.,0= 2(-й.)"2 2 zh ... Z)n&(2l ... znt), (17.16)
n=0 {zj} п-кратные
комбинации
где первая сумма берется по всем способам выбора п атомов из. набора N.
Если мы определим теперь вероятность сложного я-кратного
события, а именно вероятность того, что все атомы jt ... /п
подвергаются процессу фотопоглощения, как
(t) = 2 Zh . .. zjn& (z,... zj), (17.17) то мы сможем записать производящую функцию в форме
Q(X, 0=2 ( — ^Т 2 pW.-.inV). (17.18)
п=0 п-кратные
комбинации
Здесь величина Р;"?../п(0 определена как вероятность того, что каждый из выделенного набора п атомов поглощает фотон, независимо от всех других атомов. Эта вероятность есть просто выражение p<n> (t), данное равенством (17.1) и вычисленное для выделенных атомов /1 . . . /„. Таким образом, мы знаем все члены равенства
(17.18) и проблема сводится просто к их суммированию. Фактически же мы совершим не суммирование по атомам, а интегрирование по объему.
Так как вероятности p<n) (t) велики только при значениях п, чрезвычайно малых по сравнению с N, то суммы по л-кратным комбинациям можно аппроксимировать выражением
N N N
2 «in-2 2 2- (17-19>
n-кратные л=1 ;а=1 зп=1
комбинации
Тогда суммирование по отдельным атомам можно выполнить как пространственное интегрирование, полагая, что число атомов в единице объема равно а(г):
N
2--. = Jdr10( г*).... (17.20)
31=1 1
По существу мы имеем дело с пределом N -*¦ оо. Подставляя вероятности, данные равенством (17.1), в выражение (17.18) для производящей функции и преобразуя сумму по комбинациям атомов соответственно (17.19), находим
оо t t
«<*.0-2^5-S J ... 5
n=l to to объем объем
детектора детектора
G(n)( Г& ... Tnt'n, r'ntn ... r[Q X
n
X Па (r'j) S (t”j — t'j) dr) dtj dt). (17.21)
3=1
Чтобы немного сократить это выражение, определим функцию
V(х', x') = o(r')8(r'-r")S(t"-t'), (17.22)
где х одновременно указывает положение г и время t. Тогда выражение для производящей функции сведется к виду
<?(*’ *)=s -ЦгЧ ••• S°(п){х’*¦ х’п’ х"п ••• xDx
п—1 п
X П У Wi) dix'i dix”j- (17.23)
3=1
Так как это выражение суть разложение в степенной ряд вблизи Я = 0, то факториальные моменты должны выражаться в соответ-
ствии с (7.11) и (7.12) формулой / С!
= $•¦•$ Gin)(x[ ... х'п, х*п ... х{)
X
X Ц V (x'jx'j) dix] d4x'j, (17.24)
3=1
где интегрирование проводится по объему счетчика, который содержит атомы, совершающие фотопоглощение, и по интервалу времени от 0 до t.
Полезность полученных результатов продемонстрируем на примере полностью когерентного поля. Для такого поля имеет место факторизация
П
G(7l)(Xj ... х’п, х'п ... *i)= llG(1)(Xj-, х\), (17.25)
3 = 1
так что ряд для Q(X, t) можно просуммировать
Л/1 ^ x")V(x'x")dlx'dix"
Q(k, t)*=e «J . (17.26)
Однако из (17.24) мы видим, что средний отсчет есть как раз
<С)=55 G(1) (х\ х") V (х'х") d*x' #*", (17.27)
так что производящую функцию можно записать как
Q(X, t) = e-b<c>. (17.28)
Далее, используя равенство (17.12), получаем факториальные
моменты
/ С!
:<0". (17.29)
и используя, наконец, равенство (17.10), находим распределение вероятности
Р(т, 0 = ^*-<с>. (17.30)
Таким образом, когда поле полностью когерентно, мы всегда имеем для отсчетов распределение Пуассона.
Когда поле не обладает полной когерентностью, мы можем использовать когерентные состояния как базис для описания поля. Чтобы проиллюстрировать форму статистических расчетов, мы используем P-представление для оператора плотности поля. Можно также использовать и более общее ^-представление.
В P-представлении функция G<") дается интегралом
П
G(n) (X! ... х2п) = ^ Р ({аА}) JJ ш* (Xj {аА}) х
