Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глаубер Р. -> "Оптическая когерентность и статистика фотонов" -> 72

Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.

Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов — М.: Мир, 1966. — 189 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskayakognetivnostfotonov1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 .. 76 >> Следующая


Полное число фотонов, зарегистрированное в любой интервал времени, можно рассматривать как сумму случайных переменных по одной на каждый атом детектора. Чтобы составить ее, введем случайную переменную Zj для /-го атома, которая равна

Г 0, если для /-го атома процесс фотопоглощения не зарегистрирован, ^

z- = i

сj —

1, если для /-го атома процесс фотопоглощения зарегистрирован.

Тогда случайная переменная, которая представляет полный отсчет, запишется в виде

C=j]zj. (17.3)

3=1

Вероятность каждого конечного состояния системы, т. е. набора значений zi . . . zn, будет описываться функцией вероятности & fa . . . zN, t). Статистическое среднее любой функции переменных zj находится усреднением функции по распределению вероятности. Например, средний отсчет дается формулой

1v

(С)= 2 2 zs&(*i ¦ ¦ ¦ zn> t), (17.4)

где окончательное суммирование ведется по значениям 0 и 1 для полного набора переменных z}. Мы будем писать такие суммы в дальнейшем как суммы по {zy}. Введем далее приведенную функцию вероятности для /-го атома, которую определим соотношением

Pj(zj> *)= 2 &(Zi ¦¦¦ zn, t). (17.5)

кфз)

Средний отсчет можно записать1 с помощью приведенной вероятности pj как

<0=2 2 ziPj(z„ t)= 2 Pj(h t). (i7.6)

{Zft> 3=1 3 = 1

Очевидно, что вероятность pj( 1, t), которая появляется в последнем выражении, равна вероятности одноатомного перехода р(1)(/)> вычисленной для /-го атома. Эта вероятность дается равенством (17.1) при л= 1 и ri = r,-; мы будем записывать ее как р\1) (t).
Таким образом, средний отсчет равен

<С>=2р^(0. (17.7)

3=1

Введем производящую функцию, которая даст нам возможность решить задачу одновременно для неизвестного распределения отсчетов фотонов и для его моментов. Мы могли бы, конечно, найти моменты непосредственно обобщением способа, которым было получено (С), но настоящий метод имеет преимущество в том, что дает нам возможность получить все интересующие нас величины из одной только функции. В качестве производящей мы выбираем функцию

Q(X, t) = {(\-X)c), (17.8)

где С есть сумма случайных переменных, данная равенством (17.3); скобки означают усреднение по ансамблю, а переменная X есть просто полезный параметр.

Если записать Q как сумму по целым значениям, которые может принимать С, то будем иметь следующее разложение:

N

Q(X, 0=2(1 — Х)тр(т, t), (17.9)

771 = 0

где р (т, t) — вероятность того, что счетчик зарегистрирует т фотонов за время t. Ясно, что если функция Q (X, t) известна, то вероятность р (т, t) можно получить дифференцированием

= [?«<*• ')],=, 07.10)

поскольку равенство (17.9) можно рассматривать как разложение Тейлора для функции Q вблизи Я=1.

Если, с другой стороны, разложить Q(X, t) в степенной ряд вблизи X = 0, то будем иметь

N

<№¦ = «ко- <>7.11)

п=0

Производные, которые встречаются в разложении, следующим образом:

<-l)”[^Q<*, i>Lt = <(c^r> =

= <С(С-1) ... (C-rt+l)).

Средние в правой части этого равенства известны как факториальные моменты. Они являются простой линейной комбинацией обычных моментов (Сп) распределения отсчетов фотонов. Из этих соотно-

выражаются

(17.12)
шений ясно, что знание производящей функции дает нам возможность найти и распределение вероятности, и его моменты. Теперь необходимо показать, как можно вычислить производящую функцию с помощью вероятностей фотопоглощения p<n) (t). Сначала заметим, что функцию Q (Я, t) можно записать как

N 2 zi

Q (Я, /) = 2 # (2, . . . /) (1 -Я)3=1 =

<2Й>

= 2 && ... zN,t) П (1-Я)Ч (17.13)

3=1

Последнюю формулу можно упростить, используя тождество

(l-X)Zj=l-Zjl, (17.14)

которое выполняется потому, что Zj принимает только значения О или 1. После этого упрощения, равенство (17.13) принимает вид

Q(X, /)= 2 && ••• zN, ОП (1-^). (17.15)

izj} 3=1

Если N-кратное произведение в этом выражении разложить в ряд по степеням X, то получим
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 .. 76 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed