Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Полное число фотонов, зарегистрированное в любой интервал времени, можно рассматривать как сумму случайных переменных по одной на каждый атом детектора. Чтобы составить ее, введем случайную переменную Zj для /-го атома, которая равна
Г 0, если для /-го атома процесс фотопоглощения не зарегистрирован, ^
z- = i
сj —
1, если для /-го атома процесс фотопоглощения зарегистрирован.
Тогда случайная переменная, которая представляет полный отсчет, запишется в виде
C=j]zj. (17.3)
3=1
Вероятность каждого конечного состояния системы, т. е. набора значений zi . . . zn, будет описываться функцией вероятности & fa . . . zN, t). Статистическое среднее любой функции переменных zj находится усреднением функции по распределению вероятности. Например, средний отсчет дается формулой
1v
(С)= 2 2 zs&(*i ¦ ¦ ¦ zn> t), (17.4)
где окончательное суммирование ведется по значениям 0 и 1 для полного набора переменных z}. Мы будем писать такие суммы в дальнейшем как суммы по {zy}. Введем далее приведенную функцию вероятности для /-го атома, которую определим соотношением
Pj(zj> *)= 2 &(Zi ¦¦¦ zn, t). (17.5)
кфз)
Средний отсчет можно записать1 с помощью приведенной вероятности pj как
<0=2 2 ziPj(z„ t)= 2 Pj(h t). (i7.6)
{Zft> 3=1 3 = 1
Очевидно, что вероятность pj( 1, t), которая появляется в последнем выражении, равна вероятности одноатомного перехода р(1)(/)> вычисленной для /-го атома. Эта вероятность дается равенством (17.1) при л= 1 и ri = r,-; мы будем записывать ее как р\1) (t).
Таким образом, средний отсчет равен
<С>=2р^(0. (17.7)
3=1
Введем производящую функцию, которая даст нам возможность решить задачу одновременно для неизвестного распределения отсчетов фотонов и для его моментов. Мы могли бы, конечно, найти моменты непосредственно обобщением способа, которым было получено (С), но настоящий метод имеет преимущество в том, что дает нам возможность получить все интересующие нас величины из одной только функции. В качестве производящей мы выбираем функцию
Q(X, t) = {(\-X)c), (17.8)
где С есть сумма случайных переменных, данная равенством (17.3); скобки означают усреднение по ансамблю, а переменная X есть просто полезный параметр.
Если записать Q как сумму по целым значениям, которые может принимать С, то будем иметь следующее разложение:
N
Q(X, 0=2(1 — Х)тр(т, t), (17.9)
771 = 0
где р (т, t) — вероятность того, что счетчик зарегистрирует т фотонов за время t. Ясно, что если функция Q (X, t) известна, то вероятность р (т, t) можно получить дифференцированием
= [?«<*• ')],=, 07.10)
поскольку равенство (17.9) можно рассматривать как разложение Тейлора для функции Q вблизи Я=1.
Если, с другой стороны, разложить Q(X, t) в степенной ряд вблизи X = 0, то будем иметь
N
<№¦ = «ко- <>7.11)
п=0
Производные, которые встречаются в разложении, следующим образом:
<-l)”[^Q<*, i>Lt = <(c^r> =
= <С(С-1) ... (C-rt+l)).
Средние в правой части этого равенства известны как факториальные моменты. Они являются простой линейной комбинацией обычных моментов (Сп) распределения отсчетов фотонов. Из этих соотно-
выражаются
(17.12)
шений ясно, что знание производящей функции дает нам возможность найти и распределение вероятности, и его моменты. Теперь необходимо показать, как можно вычислить производящую функцию с помощью вероятностей фотопоглощения p<n) (t). Сначала заметим, что функцию Q (Я, t) можно записать как
N 2 zi
Q (Я, /) = 2 # (2, . . . /) (1 -Я)3=1 =
<2Й>
= 2 && ... zN,t) П (1-Я)Ч (17.13)
3=1
Последнюю формулу можно упростить, используя тождество
(l-X)Zj=l-Zjl, (17.14)
которое выполняется потому, что Zj принимает только значения О или 1. После этого упрощения, равенство (17.13) принимает вид
Q(X, /)= 2 && ••• zN, ОП (1-^). (17.15)
izj} 3=1
Если N-кратное произведение в этом выражении разложить в ряд по степеням X, то получим