Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
3=1
2п
X П %(ъЫ)ЦЛ2ак. (17.31)
3=п+1 к
Если это выражение подставить в ряд (17.23), то в результате суммирования он приобретает следующую замкнутую форму:
Q (Я, t) J P({ah}) е~^{а^ Д d*ah, (17.32)
h
где
&({«*}) = I %*(x' {ah})%(x" {ak})V(x', x") d*x' d*x". (17.33)
Далее, из равенства (17.12) видно, что факториальные моменты равны
<(с5оГ>= \ nn({*k})Y[d2ak, (17.34)
к
а из формулы (17.10) следует, что распределение вероятности дается выражением
р(т, t) = \p ({afe}) -QmУ e-R({V) Д d2ah. (17.35)
ft
Вероятность регистрации т фотонов есть, очевидно, результат усреднения по соответствующим вероятностям для ансамбля распределений Пуассона. Нет нужды подчеркивать, что процесс усреднения является не классическим процессом и что функция квазивероятности Р может принимать отрицательные значения.
В качестве следующей иллюстрации применения методов, которые мы обсуждаем, рассмотрим общий случай хаотически генерируемых полей. Операторы плотности для таких полей можно представить посредством гауссовой функции
о7-36>
ft
Тогда, поскольку функция Q есть квадратичная форма переменных ад, интеграл (17.32) для производящей функции можно вычислить в общем виде.
Однако прежде мы введем одно полезное обозначение. Мы можем выразить функцию % (х, {aft}) как линейную форму пере-
менных ah с помощью разложения по нормальным модам
Ш(х, {ай}) = 2е(*> k)ah, (17.37)
k
где функции е даются равенством (14.26). Если ввести далее матрицу
fik.k.= J e*(x'k')V(x'x’)e(x"k")d*x’d*x”, (17.38)
то квадратичную форму Q можно записать как
({“*})= 2 a*’Bh4l»ak,’. (17.39)
h’h"
Подставляя это выражение для Q и гауссову форму для Р в равенство (17.32), для производящей функции получаем
Q(X, 0=5 ...J ехр{-2\^у-^2а*'В^"а^}
Если ввести переменные
d2cifc
<«й)
к h'h" h
(17-4°)
{<nh)} 12
и определить матрицу
Mh'h” = {(nh')Yh Bvv {(П^>}1/2, (17.41)
то интеграл для производящей функции можно свести к следующей форме:
Q (К, t) = 5 ... 5 ехр { - 2 I Pft i2- Ь 2 h'Mk'k-h’ } II •
h h'h" h
(17.42)
Теперь мы можем рассмотреть набор чисел Рй как совокупность компонент комплексного вектора р. Тогда если допустить, что М представляет матрицу, компоненты которой даны равенством (17.41), то экспоненту в подынтегральном выражении равенства (17.42) можно записать как произведение
— Р+(1 +Ш)р.
Так как матрица М является эрмитовой, ее можно диагонализо-вать путем унитарного преобразования вектора р. Тогда, обозначая собственные значения М через <Mi, а преобразованные комплексные координаты через мы можем свести интеграл для
производящей функции к элементарному виду
i
(17.43а)
Q(^> ' det (1 ’
(17.436)
Заметим, что матрица М должна быть положительно определенной, поскольку квадратичная форма О, данная равенством (17.33) или (17.39), есть среднее число фотонов, подсчитанных в некотором когерентном поле. Таким образом, собственные значения oJfli положительны, и сингулярности производящей функции лежат на отрицательной части действительной оси переменной X. Поскольку функция Q аналитична в полуплоскости Re^>0, мы видим, что если разложить функцию Q в степенные ряды около точки X = 0 или X = 1, то эти разложения в ряды в других точках можно вычислить в принципе методом аналитического продолжения. Это соображение показывает, что использованная нами процедура вычисления производящей функции посредством ее разложения в точке X = 0 действительно ведет к единственному результату для распределения вероятности.
Поскольку матрица М имеет, вообще говоря, неопределенный ранг, непосредственно вычислить выражения (17.43) нелегко. Заметим, однако, что det (1 + X М) можно записать как
При | Я, | < (обмане)-1, гдее//макс есть наибольшее собственное значение dll, логарифм в показателе можно разложить в сходящийся степенной ряд, тогда
Используя это равенство, мы можем выразить производящую функцию в виде
