Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. на классической орбите в фазоЪом пространстве. Она спадает к нулю с обеих сторон от классической орбиты, оставаясь всюду положительной.
Другим примером, для которого можно легко записать «плотность в фазовом пространстве», является гауссов оператор плотности. Для этого случая мы имеем
R (а*, Р) = ^ Р (y) expect*y + Py* — IY I2} d2y =
exp{ —L^-+“*V+Pv*—IVl2} ^T— (13-15)
Подстановкой
интеграл сводится к стандартной форме
(13.16)
Таким образом, мы находим
<а I е I а) = R (а*, а) е-|а1. = —l — ехр { -
} . (13.17)
Если (п) стремится к нулю, это выражение переходит в гауссову функцию (1/я) ехр ( —| а |2). В этом же случае весовая функция Р(а) должна быть б-функцией в начале координат. Если (п) стремится к бесконечности, то
В этом пределе элемент (а | q | а) становится равным Р-распреде-лению, потому что предел большого (п) есть попросту классический предел. Следовательно, в этом случае Р (а) действительно можно интерпретировать как классическую плотность в фазовом пространстве и различие между нормально и антинормально упорядоченными операторами также исчезает вследствие принципа соответствия.
4. «Фазовая плотность» Вигнера
Вигнеровское распределение можно считать «предком» всех наших функций квазивероятности. Оно существует и является «хорошей» функцией для всех квантовых состояний, но, как оказывается, может принимать и отрицательные значения. Для определения вигнеровского распределения мы используем приближение, предложенное Мойалом :).
Начнем с обсуждения разновидности характеристических функций, определяемых соотношением
где р и q — операторы. Используя теорему об умножении экспонент (С3.20), можно записать это выражение в виде
(13.18)
Х(|х, v) = (ei(i*J,+ve)>,
(13.19)
X (|Х, V) = Sp {Q<?iHP/2eiv9eiM.p/2}
(13.20)
*) М о у a 1 J. Е., Рroc. Cambr. Phi]. Soc., 45, 99 (J948).
Если ограничиться рассмотрением чистых состояний, использовать координатное представление и вспомнить интерпретацию экспоненциальных функций моментов как операторов координатного смещения, то равенство (13.20) можно переписать в виде
X(|i,v)= + (13.21)
где т|; (q') есть волновая функция чистого состояния. Функция
Вигнера есть преобразование Фурье этой характеристической функции
W (р>' Ч’) = Щ2 J ехР {- i (lV + VQ')} х (I*. v)dv =
= J exp { — i (up' + v?')} J ij;* (?"—-^) е^ч” X X ^ Qf + dq" d\i dv =
= 2jtS e~tltp' ((l"+^r)dq"dV‘=
= i \ V (У—4)O'+4) <13-22)
Если в последнем выражении положить у=—цй, то приходим к форме, полученной впервые Вигнером:
= \ r{q' + \)e^v^(q'-^dy. (13.23)
Очевидно, что из любой волновой функции можно вывести вигнеровское распределение. Таким образом, распределение всегда существует, хотя оно и не всегда положительно. Ясно, что в случае
смешанного состояния необходимо произвести усреднение (13.23)
по всем занятым состояниям. Условие нормировки, налагаемое на W (q', р'), имеет вид
J W(q\ р') dp' dq' = J 8(|*)8(v)X(|*, v)dpd\=X (0,0)= 1. (13.24)
Чтобы сравнить вигнеровское распределение с теми, которые обсуждались выше, полезно выразить его через операторы уничтожения и рождения а и а*. Тогда, определяя комплексную переменную преобразования Фурье соотношением
*“-<-г),',+Чж)1Л- <13'25>
можно записать оператор в показателе характеристической функции следующим образом:
— i (|лр vq) — — Х*а, (13.26)
а сама характеристическая функция принимает вид
X (fx, v) = (еха^~х*а) =
= Sp {ge^e-k*0} e-1/2W2 =
= Sp{Qe-^*ae^}e1^^2. (13.27)
Мы можем теперь использовать нормально упорядоченную форму, чтобы записать вигнеровскую функцию в Я-представлении. Если принять, что оператор плотности имеет Я-представление, то характеристическая функция дается выражением
X(|i, v)= J P(p)<p|e»'“+e-»'*a|p>e-v*w,d2p =
= J Я(Р)ехр {яр*—Л*р—j|A.|2} d2p. (13.28)
При вычислении преобразования Фурье от X, т. е. вигнеров-ской функции, удобнее использовать в показателе линейную комбинацию а и а*, чем комбинацию классических переменных р,' и q'. Поэтому мы запишем
i (цр' + vq') = Ха*— Х*а (13.29)
и
dfx dv = d2X. (13.30)
Тогда преобразование Фурье принимает вид W(q\ р') = -~ Jsp{eeW“+-»**)e-^(“-e)}e-V*IM»Ad*>,=
= $ P(p)exp^(p*-a*)-r(p-a)-l|^|2}d2^d2p.(13.31)
Заменой |.= XlY 2 этот интеграл сводится к стандартной форме W <*'• Р'^~к:\Р ^ ехР Ф*-а*)-УП* (Р—«*)—11 |2}d2gd2p =
= ^ $P(P)exp{-2|P-a|2}d2p. (13.32)
