Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
/>(К}) = Птг^е'1аА,,/<ВА>’ (10-23>
k
где (пк) есть среднее число фотонов в k-и моде при полной суперпозиции полей. Одно из замечательных свойств этой весовой функции заключается в том, что она имеет факторизованную форму. Интересно напомнить поэтому, что не делалось никаких предположений о факторизованности весовых функций р, описывающих отдельные источники. Правда, у этих источников различные амплитуды мод могут быть сильно связаны по величине. Но именно свойство стационарности источников приводит вследствие- исчезновения моментов (10.22) при k ф к' к факторизованному виду весовой функции (10.23).
Оператор плотности, соответствующий гауссовой весовой функции (10.23), описывает идеально хаотический тип возбуждения мод поля. Мы не без оснований можем предположить, что этот оператор (по крайней мере как хорошее приближение) применим для описания всех известных видов некогерентных источников, используемых
в лабораториях. В частности, из результатов раздела 7 следует, что гауссова весовая функция правильно описывает тепловые источники. Подстановка в (10.23) распределения Планка (nft) = = [ехр (Tiwh/kT) — I]-1 приводит к оператору плотности, соответствующему полю излучения теплового происхождения. Так как гауссова весовая функция (10.23) может описывать излучение целого ряда некогерентных источников, то это приводит к определенным глубоким аналогиям с фотонными полями, генерируемыми этими источниками. Например, можно считать, что все эти источники напоминают тепловые, отличаясь от них только спектральным распределением выходного излучения. В качестве иллюстрации этих аналогий можно мысленно рассмотреть прохождение излучения черного тела через такой фильтр, выходное спектральное распределение которого обладает данным контуром линии. Мы можем подобрать этот искусственный контур линии таким образом, чтобы он совпадал с контуром действительно излучаемой линии, скажем разрядной трубки. Тогда возникает вопрос, можно ли по измерениям фотонного поля отличить источник, действительно испускающий линию, от искусственного. Если излучение разрядной трубки, как мы полагаем, описывается гауссовой весовой функцией, то ясно, что с точки зрения экспериментов, в которых считаются фотоны* эти два источника неразличимы. Они являются эквивалентными узкополосными квантовомеханическими генераторами шума.
Получение функций корреляции для некогерентных полей [2], описываемых гауссовой весовой функцией (10.23), не представляет труда. Если эту весовую функцию подставить в выражение (10.9) для корреляционной функции первого порядка, то получим
G$(rf, г'/')=1 2 йю«*м(г) uhv{r')(nh) &<**-*”>. (10.24)
к
Если функции мод uft (г) являются плоскими волнами (2.9), а объем системы достаточно велик, то функцию корреляции можно представить в виде интеграла
0<А>(Г/, тГ)=^-я 5 2 e^*e^(nh^)k х
•к
х ехр { — г [k-(r —г') —со(^ —^')]}dk, (10.25)
в котором индекс к по-прежнему обозначает направление поляризации. Чтобы найти функцию корреляции второго порядка, определяемую выражением (10.2), можно записать ее аналогичным образом в виде разложения по функциям мод. При этом единственные новые моменты весовой функции, которые необходимо знать, даются выражением (| ah |4) = 2 (| аА |2)2 = 2 («А)2. Тогда получаем, что
функцию корреляции второго порядка можно выразить через
функцию корреляции первого порядка
^М-1^2|-1эМ4 (XlX2, X'jX^) “ ^Д1Д3 (-^ 11 Х3) Gji 2jl j (Л^21 Х^)
(Xl, ХА) G^H3 (x2, x3). (10.26)
Легко показать, что все функции корреляции более высокого порядка также сводятся к суммам произведений функций первого порядка. Так, функцию корреляции п-го порядка можно представить в виде
П
off. . . Д2п (*!••• **+1 • • • Х2п) = 2 П G»k- Уй' (10-27)
3=1
где индексы v;- и координаты yj при j = 1 ... п являются перестановками из двух наборов |хп+1 . . . |х2„ и xn+i ¦ ¦ ¦ х2п соответственно, а суммирование производится по всем п\ перестановкам. Все поля, представляемые весовой функцией (10.23), характеризуются тем, что их свойства можно полностью описать, зная корреляционную функцию первого порядка.
Поля, обычно называемые по оптической терминологии когерентными, легко описать корреляционной функцией первого порядка (10.25). Поскольку в таких полях свет тщательно коллимируется и является приблизительно монохроматическим, то средние числа заполнения (nkt х) обращаются в нуль вне малого объема в к-про-странстве. Критерием точной когерентности обычно считается малость линейных размеров этой области по сравнению с величиной к. Легко доказать, что если поле полностью поляризовано, а две точки (г, t) и (г', t') не слишком удалены друг от друга, то функция корреляции (10.25) приблизительно принимает факторизованный вид (2.4). Другими словами, поля описываемого типа приблизительно удовлетворяют условию когерентности первого порядка [3]. Однако из структуры корреляционных функций более высокого порядка легко видеть, что эти поля никогда не имеют когерентности второго или более высокого порядка. Действительно, если вычислить функцию G(n\ определяемую выражением (10.27), для конкретного случая, когда все координаты и индексы равны (т. е. xi = . . . = х2п = х, а щ = . . . = \i2n = ц), то получим
