Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
[/0> = |vac>, (12.16)
то в момент времени t имеем
t
e-ifW 11) = exp jj j (r, /')• A (r, /') dr d/'| | vac). (12.17)
to
Если ввести теперь разложение оператора А по нормальным
типам колебаний или модам [соотношение (С2.10)], то станет видно, что унитарный оператор, действующий на вакуумное состояние справа в выражении (12.17), есть просто произведение операторов смещения:
Dh(ah) = exp[ahal — atah]. (12.18)
Точнее, если мы определим систему зависящих от времени
амплитуд
(
«k(t)= ‘ ы \ i(r, n-ut(r, ne-^'drdf, (12.19)
(2Ji toft) /2
to
то соотношение (12.17) можно переписать в виде
е-*Ф(П | /> = (ок(0) | vac). (12.20)
л
Отсюда ясно, что излучение заданного распределения токов в вакуум всегда приводит к когерентному состоянию поля излучения:
е-*ф(0|/> = | {а* (/)}). (12.21)
Вообще, если поле вначале находится в произвольном когерентном состоянии, то под действием излучения распределения токов его состояние остается когерентным.
Найденное решение задачи об излучении заданного распределения токов точно учитывает квантовомеханические свойства поля. Однако оно просто связано с решением соответствующей классической задачи. Соотношениями (8.22) амплитуды ад (t) связаны с зависящими от времени амплитудами мод для классического поля излучения.
В момент времени t оператор плотности, который соответствует когерентному состоянию (12.21), равен
Q(0 = |{aft(0}><{M0}l (12.22)
и может быть переписан в P-представлении следующим образом:
Q(t)=[P Ш) I {Р*}> <{М П d2P*’ (12-23)
к
где
^({Р*}) = Пб<2,(Р*-М0) (12-24)
k
есть Р-функция.
В проведенных расчетах мы оперировали с заданным распределением тока, т. е. с таким распределением, поведение которого можно в принципе предсказать. Однако в действительности может оказаться так, что у нас недостаточно информации для такого предсказания, и мы должны прибегнуть к статистическому описанию поведения тока. Поскольку токи j (г, t) в любой заданный момент времени в этом случае неизвестны, записать точные значения амплитуд аъ (t) в виде соотношения (12.19) становится невозможным. Поэтому мы предположим, что коэффициенты ад имеют в момент времени t некоторое распределение вероятности р ({aft}, t) с заданной дисперсией. Тогда оператор плотности можно записать в форме
6 = ( P({a*}. t) | {aft}> ({aA} | Д d2ah, (12.25)
к
которая является общей для P-представления, но в которой функция Р, очевидно, всегда положительна.
Оператор плотности в виде соотношения (12.25) с положительной величиной р ({aA}, t) может использоваться для описания полей излучения целого ряда источников, например тепловых излучателей, разрядных трубок и т. д. В связи с этим интересно заметить, что мы всегда можем построить в этих случаях такое классическое распределение случайных токов, что оно будет приводить к тому же самому полю, т. е. тому же самому оператору плотности.
Лекция 13
1. Понятие о фазовом пространстве для поля
В классической механике мы можем определить состояние системы заданием мгновенных значений всех координат и импульсов. Тогда эволюция системы единственным образом описывается уравнениями движения. Для наглядности п координат и п импульсов системы можно представить как координаты точки в 2п-мерном (фазовом) пространстве. Точка, которая представляет систему в этом пространстве, движется по определенной траектории.
Эту концепцию легко обобщить на случай классической статистической механики. Однако ввиду того, что в этом случае начальные координаты и импульсы системы неопределенны, мы можем указать только распределения вероятности Ркл (р\ . . . р'п, q[ . . . ... q'n) для этих переменных. Вместо того, чтобы следить за движением отдельной точки в фазовом пространстве, мы должны следить за движением целого «облака» точек, представляющих ансамбль систем. Ожидаемое значение любой функции величин pi и q\ можно вычислить тогда путем интегрирования произведения этой функции на вероятность Ркл по всему фазовому пространству.
В первые же годы существования квантовой механики делались попытки использовать такой подход для описания квантовомеханической неопределенности. Мы не будем здесь обсуждать этот подход более подробно, поскольку наши интересы ограничены изучением электромагнитного поля.
С точки зрения динамики колебания поля в каждой моде есть колебания гармонического осциллятора. Для простоты рассмотрения ограничимся одной модой. В этом случае классическое фазовое пространство имеет только два измерения, соответствующие переменным р' и q'. Фазовая точка для моды с энергией Е движется по эллипсу
