Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глаубер Р. -> "Оптическая когерентность и статистика фотонов" -> 45

Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.

Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов — М.: Мир, 1966. — 189 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskayakognetivnostfotonov1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 76 >> Следующая


Если объем, содержащий поле, достаточно велик по сравнению с длинами волн возбуждаемых мод, то в равенстве (10.14) сумму по модам можно заменить на интеграл по к-пространству

2 -> J L3 (2xt)~3 dk.

k

Определяя энергетический спектр квантов (т. е. энергию на единичный спектральный интервал) как

w (со) = (2л)-3 hk3 2 ^ (nh,f.)dQk, (10.15)

%

где dQh есть элемент телесного угла в k-пространстве, равенство (10.14) можно переписать в виде

оо

2G$(r*> гО = у J w(«>)eW-ndai. (10.16)

и о

Поскольку а»(со) = 0 при со < 0, то интегрирование по со можно производить от —оо до оо. Ясно, что соотношение (10.16) можно в этом случае обратить, чтобы выразить энергетический спектр как фурье-преобразование корреляционной функции, зависящей от времени:

оо

а’(с°)=Т S 2G^(r0, rt)e™dt. (10.17)

— оо JI

Соотношения, аналогичные равенствам (10.16) и (10.17) (вместе

их называют теоремой Винера — Хинчина), уже давно используют-
ся в классической теории случайных полей *). Полученные нами соотношения в некотором смысле являются естественным квантовомеханическим обобщением теоремы Винера — Хинчина. Нами использовалось только предположение, что поле описывается стационарной формой оператора плотности в ^-представлении. Фактически для доказательства не обязательно использовать Р-пред-ставление, поскольку аналогичный результат можно получить и с помощью более общего представления оператора плотности (9.5).

Стационарные поля представляются, согласно (6.10), целыми функциями R = З1 ({ctftPft}), т. е. функциями, которые зависят только от произведений a*pft. Тогда для таких полей интеграл [используемый в (10.10)] по плоскостям аир имеет вид

<Ptah.) = J. ^ ({a?pft}) №ak„ Д Ф К) Ф (Pi). (Ю.18)

i

Поскольку область интегрирования по каждой из переменных a и р распространяется на всю комплексную плоскость, то этот интеграл не может измениться при изменении знаков любой из переменных. Если, однако, заменить данные переменные ak" и рй^ на — ah" и —pft", то интеграл меняет знак, если только не выполняется равенство

фРак.) = 8к^фМ. (10.19)

На основании (5.11) и (6.5) можно заметить, что среднее значение (P*aft) точно равно среднему числу квантов в k-w. моде

(P*aA) = Sp{ea|aA} = (rtA). (10.20)

Таким образом, мы показали, что корреляционная функция первого порядка в общем виде (10.10) всегда удовлетворяет равенству (10.14), когда поле описывается стационарным оператором плотности.

Выражения, связывающие энергетический спектр с зависящей от

времени корреляционной функцией, находятся, как и раньше.

Самый простой и наиболее общий пример некогерентного поля — поле, создаваемое суперпозицией излучений стационарных источников. В разделе 8 мы подробно показали, что по мере увеличения числа источников, которые дают вклад в возбуждение одной моды, оператор плотности моды принимает гауссов вид в .Р-представле-нии. Нетрудно получить аналогичный результат и для случая, когда источники возбуждают сразу много мод. Предположим, что

х) В теореме Винера — Хинчина преобразование обычно выполняется с помощью косинусов, поскольку для классического поля Е корреляционная функция является действительной величиной, а не комплексной, как для полей Е(±). Для квантовомеханических целей значительно удобнее использовать комплексные корреляционные функции [3].
источники (/ = 1 ... N) в основном идентичны и что их вклады в возбуждение описываются весовой функцией р ({а уА}). Тогда на основании теоремы о свертке функций весовая функция Р ({ай}), описывающая суперпозиционное поле, дается выражением

N N

р(Ы)=\ Пб<2)(^-2 П P(M)Y[d4jk. (Ю.21)

к j= I }= 1 к

Так как предполагается, что отдельные источники стационарны, то функция р ({ay-ft}) будет зависеть только от абсолютного значения переменных aJh, т. е. от | а^|.

Вывод асимптотической гауссовой формы для Р ({aft}) из (10.21) настолько аналогичен выводу выражения (8.8) из (8.1), что нет необходимости здесь подробно повторять его еще раз. При доказательстве используются моменты второго порядка функции р, которые (употребляя такие же векторные обозначения, как и раньше) можно записать в следующем виде:

(aAaA'> = ^ ahak,p ({аА}) Д d2al. (10.22)

i

Стационарный характер функции р означает, что такие моменты равны нулю при k Ф k'. Можно повторить наши рассуждения и показать, что многомерное фурье-преобразование Р имеет вид произведения гауссовых функций вида (8.6), соответствующих каждой моде. Отсюда сразу же следует, что весовая функция Р всего поля дается произведением гауссовых множителей вида (8.8):
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed