Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем теперь вывести точное выражение для функций корреляции более высоких порядков, вычисляя соответствующие производные функционала. В частности, п-ю производную по Z можно записать в виде
П
^-S = {n 5 Ga)(xj, x')r\(x')dix’^ S. (14.34)
(Xl) ...61 (*...
3=1
Чтобы найти функцию корреляции я-го порядка, мы должны далее дифференцировать я раз по функции rj. Поскольку ? (х), в конце концов, должна быть положена равной нулю, то легко видеть, что все члены, которые появятся от дифференцирования по г) множителя S в правой части (14.34), в конечном итоге исчезнут, поэтому
б2 П
6Z, (Xi) ... (хп) fir) (хп+1) ... 6г\ (х2п)
п
6п
п=0
fill (Xn+i) • • • fill (Х2п)
[J ^ Ga>(Xj, x')r](x')d4x' =
i=i n
= MCll,(^^+i))’ (14-35)
P 3=1
т. e. производная есть сумма, взятая по я! возможным способам перестановки набора координат л:п+1 . .. х2п- Так как вычисленная производная, согласно равенству (14.25), есть функция кор-
реляции п-то порядка, то окончательно имеем
п
G<n> (jtj ... х„,, л:„+1 ... х2п) = 2 П G<1) (xJxP(,n+i))- (14.36)
р 3=1
Функция корреляции п-го порядка для гауссовых полей есть симметричная сумма произведений функций корреляции первого порядка.
Чтобы проиллюстрировать этот результат, запишем функцию корреляции второго порядка
G<2) (вд>, x3xj = G(1) (xix3) G(1> (x2xj -f- G(1) (ад) G(1) (*2*3). (14.37)
Если рассматриваемое поле обладает когерентностью первого порядка, то функцию корреляции первого порядка можно записать в факторизованной форме (7.15). Слагаемые в (14.37) равны, поэтому
G(2) (xix2, х3х4) = 2Г (JCi) Г (х2) S (х3) % (х,). (14.38)
Функция корреляции второго порядка факторизуется, но так как появился множитель 2, то поле не может иметь когерентность второго или более высокого порядка. Очевидно, что функция корреляции п-го порядка для таких полей дается формулой
п 2 п
G<n)(^ ... х2п) = п! П Ш*Ш П S(xj). (14.39)
3 = 1 3= Tl+1
4. Распределение квазивероятности для амплитуды поля
Когда оператор плотности для поля можно определить с помощью Р-представления, функция Р ({аА}) играет роль, аналогичную роли плотности вероятности для отдельных амплитуд ah. Конечно, для светового луча мы обычно измеряем не отдельные амплитуды ak, а средние значения различных функций комплексного собственного значения напряженности поля % (г, t), которое представляет собой некоторую линейную сумму амплитуд отдельных мод,
Ш(х{ак)) = ^е(х, k)ah. (14.40)
k
Чтобы описать все разнообразие таких измерений, которые можно произвести в одной пространственно-временной точке х = (г, I), удобно использовать разновидность приведенного распределения квазивероятности для комплексной амплитуды поля % (х {аА}), которую можно вывести из Р ({а}). Эта функция распределения для амплитуды поля будет весьма полезна при обсуждении причины возникновения эффекта корреляции фотонов, открытого Хэнбери Брауном и Твиссом.
Для иллюстрации вида средних величин, с которыми нам часто
придется сталкиваться, заметим, что средняя интенсивность поля
в точке л: равна
к
а среднюю частоту совпадений для частного случая, когда два счетчика помещены в одной и той же точке и обладают одинаковой зависимостью чувствительности от времени, можно представить в виде
Gm (хх, хх) = ^ Я({аА}) [ % (*{аА}) j4 Д d2ah. (14.42)
k
Это примеры общего класса средних, имеющих форму
J Р ({a*}) F (Ш (х {а*})) Д d2ak, (14.43)
к
где F — подходящим образом определенные функции. Теперь удобно разделить многомерное интегрирование по комплексным параметрам амплитуды на две стадии: интегрирование по подпространству параметров а*, в котором линейная комбинация
Ш (х {aft}) = ^ е (х, k)ah
остается постоянной, и затем по всем значениям, которые может принимать эта сумма. Обозначая через W (Щ, х) функцию, получающуюся в результате первого интегрирования
W($,x)= ^P({ak})8w^-^1e(x, k) aft) Д d2ak, (14.44)
k k
можно записать полный интеграл (14.43) в форме
^ Р ({ah}) F (Ш (х {ah})) J[d*ah =
h
= \\Р (Ы) б(2) (ш~^е(х, k)ah^x
h
X F (%) Д d2ak d2% = 5 W(E, x)F(%)d2%, (14.45)
k
где d2M = d (Re %) d (Im Щ) есть действительный элемент площади в комплексной плоскости амплитуды поля. Ясно, что функция W (Ш, х), определенная равенством (14.44), играет роль, аналогичную роли распределения вероятности для комплексной ампли-
