Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
выражение (15.8) для оператора плотности, усредненное по фазе комплексной амплитуды а, т. е.
2я
е= ^ |j а j ew) <| а | ei0 J ~ =
0
= S 2^пб(1РН«1)1Р)<Р1<*гр. (15.21)
Эти выражения оператора плотности зависят только от абсолютного значения а и, следовательно, представляют стационарные поля. Они соответствуют смешанным, а не чистым состояниям поля, но, как мы заметили в предыдущей лекции, смешанные состояния, соответствующие усреднению по всем фазовым переменным, не изменяют когерентных свойств поля. Легко убедиться, что функции корреляции, которые выведены из оператора плотности (15.21), идентичны тем, которые выведены из выражения (15.18).
Точное построение оператора плотности для идеального лазерного луча показывает, что фотонная корреляция в таком луче не должна обнаруживаться. Причина отсутствия такой корреляции очевидна из анализа, проведенного в предыдущей лекции. Функция квазивероятности W (§, х), которая соответствует стационарному оператору плотности (15.21), непосредственно выводится из равенств (14.44) и (15.19):
w х) = —умлк----------------6 (!g I - (тТ21u {r) a(15'22)
2jT(tJ \u(r)a\
Эта функция исчезает везде в комплексной ^-плоскости, исключая окружность, где б-функция имеет сингулярность. Она описывает поле, которое совершенно не подвержено амплитудной модуляции, и это основная причина отсутствия корреляции фотонов в идеальном лазерном луче.
Используя принцип соответствия, можно более прямо показать возникновение этого свойства когерентно излучаемых лучей. Мы упростим нашу картину лазера, рассматривая его как распределение осциллирующего заряда, который излучает наподобие антенны. Заряд, по нашему предположению, имеет только один тип колебания, амплитуда которого такая же, как у гармонического осциллятора. Поскольку электрическая поляризация этого осциллятора является макроскопической, то мы должны рассматривать координату осциллятора как существенно классическую величину, т. е. считать, что осциллятор находится в сильно возбужденном квантовом состоянии, которое имеет чрезвычайно большой квантовый номер.
Когда осциллятор отделен от каких-либо источников возбуждения и излучает спонтанно, амплитуда его колебаний уменьшается весьма медленно по сравнению с периодом колебаний. Поскольку осциллятор ведет себя по существу классически, ток, создаваемый его движущимися зарядами, вполне предсказуем. Как мы уже отмечали, излучение такого тока приводит поле в когерентное состояние. С другой стороны, с квантовомеханической точки зрения мы считаем, что осциллятор совершает переходы вниз по энергетической шкале, шаг за шагом проходя через состояния с квантовыми числами п, п— 1, п — 2..., где п > 1. Продолжительность времени, которое осциллятор проводит в каждом из этих состояний, распределена по экспоненциальному закону, и поскольку п велико, средние времена жизни состояний не изменяются значительно от данного состояния к следующему. Каждый переход сопровождается испусканием фотона. Не удивительно поэтому, что когда фотоны детектируются счетчиком, интервалы времени между их последовательными регистрациями распределены по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение временных интервалов указывает на отсутствие тенденции к парной корреляции или корреляции более высокого порядка. Это характерное распределение для интервалов между полностью некоррелирующими событиями, которые происходят с фиксированной средней частотой. Ясно, что при использовании двух или более счетчиков не будет наблюдаться зависящей от времени корреляции их выходных сигналов.
3. Модель лазерного поля с конечной шириной полосы
В отличие от идеального луча, который мы только что обсудили, реальный лазерный луч никогда не будет абсолютно монохроматическим. Его частота всегда изменяется более или менее случайным образом в узкой области, что вызывается возмущениями, имеющими место как внутри, так и вне лазера. Мы будем строить простую модель лазерного поля с конечной шириной полосы частот, предполагая, что механизм, возмущающий лазер, существенно стохастичен по природе.
Примем для простоты, что лазер возбужден в единственной моде электромагнитного поля с частотой со0. Тогда гамильтониан поля для этой моды равен
Я0 = rfa,
а зависящие от времени операторы a(t} и а'т (t) задаются в отсутствие возмущений через не зависящие от времени операторы
а и йт выражениями
a(t) = ae~ia °f,
а+(0 = а+е1тв‘. (15.23)
Полностью гармоническое поведение осциллирующего поля будет нарушаться различными взаимодействиями поля с другими системами. Мы будем предполагать, что влияние этих взаимодействий можно учесть добавлением к гамильтониану поля члена, зависящего от одной или более случайных функций времени f (t). Обозначая этот стохастический добавок к гамильтониану через Hf (t), для полного гамильтониана поля получаем
