Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
= Uf(t, t')\a) {a\Uf{t, t'). (15.38)
Согласно соотношению (15.36), этот оператор также будет иметь P-представление, для которого можно ввести специальное обозначение
e»(0=S РК|Р01РХРИ8Р- (15.39)
Функция P(af|p^) есть, очевидно, функция условной квазивероятности. Она соответствует в классическом пределе распределению вероятности для комплексной амплитуды |3 в момент t, когда известно, что в момент t' она имела (или будет иметь) значение а.
Чтобы проиллюстрировать использование этих соотношений при вычислении статистических средних, рассмотрим среднее от произведения at (t) а (t'), которое фигурирует в выражении для функции корреляции первого порядка. Если подставить L (t) = = (t) и М (0 = a(t) в (15.35), то, учитывая равенство (15.23),
находим
(аЦ1)а(П),=
= Sp {a^eia{>tUf(t, t') ae~iaot Qi (t’) Uf(t, t'j). (15.40)
Используем далее равенство (15.36) для оператора плотности и тот факт, что [ а) есть собственное состояние оператора а, тогда
(аЦ1)а(П),=
Uf(t,t') J P(at')a\a)(a\d2aUf(t,t')a^ е1щЦ~г\ (15.41)
Теперь с помощью (15.39) можно выполнить унитарное преобразование внутри скобок, что позволяет выразить оператор плотности (15.38),
(tf(t)a(t'))f =
= Sp { J Р (at') аР (at' | р*) | р) (р | р* d2a d2pj х
X е^-п = ^ Р (at') P(at'\ pi) ар* d2a d2p (15.42)
Последнее выражение для среднего весьма сходно с теми формулами, которые встречаются в классической теории непрерывных процессов Маркова. Напомним, что средние, которые мы вычисляли, соответствуют некоторому частному поведению стохастического гамильтониана. Чтобы получить величины, сопоставимые с экспериментом, необходимо, как уже говорилось выше, провести усреднение по подходящему ансамблю случайных функций f (t). Мы можем записать это среднее как
(aHt)a(t')) =
= J (P(at')P(at' |р0ср.по /ар» d2a d^0^1. (15.43)
Выведенные соотношения дают весьма общую схему обсуждения влияния случайных возмущений на осцилляции поля. Мы используем этот формализм для создания простой модели лазерного луча с конечной шириной полосы.
Простейший способ получить осциллирующие моды поля с конечной шириной полосы частот состоит, по-видимому, в предположении, что их частота есть случайная функция времени. Это можно проделать, записывая полный гамильтониан поля (15.24) в виде
Н— Ь [coo + f (t))cfta, (15.44)
где f (t) есть такая случайная функция, для которой среднее по ансамблю (f(t)) равно нулю.
-Sp {
Так как стохастический гамильтониан, очевидно, равен
Hf(t) — bf(t)tf а (15.45)
и коммутирует с Н0 = Ь(ла^а, то гамильтониан взаимодействия, согласно равенству (15.25), есть просто Hf.
Уравнение Шредингера (15.26) принимает тогда вид
0=7(0 tfaUf (t, О- (15.46)
Его решения есть просто экспоненциальная функция вида
Uf(t, О = (15.47)
где ф определено выражением
t
Ф(«')= ] f{t")dt". (15.48)
v
Чтобы выявить влияние преобразования Uf на состояния поля, предположим, что поле находится в когерентном состоянии | а) в момент времени t'. Тогда в момент времени t это состояние будет
\t) = Uf (t, О | а) = e-iaW"'> | а) =
оо
= e-l/2|af2g-iata<p(«') ^ I lre> =
п=0 ^
= e-Va|a|* 2 —| /г) = | ae-i(P(“')). (15.49)
Частный стохастический гамильтониан, который мы приняли, как раз преобразует одно когерентное состояние в другое когерентное состояние, для которого амплитудный параметр отличается от исходного фазовым множителем. Ясно, что в этой модели совершенно отсутствует амплитудная модуляция.
Используя выражение (15.46) для оператора плотности, представленного равенствами (15.38) и (15.39), находим
|ае-‘<р<«'))<сиН<р<«'>|= J Р (at' | pf) | р) (р | d2p, (15.50)
откуда видно, что плотность условной квазивероятности можно взять просто в виде б-функции
Р {at' | рt) = б(2) (р - ае-‘ч*«'>). (15.51)
Если ввести фазы амплитуд аир
а = | а | ei0J, р = | р | е*0, (15.52)
то двумерную б-функцию (15.51) можно записать как произведение одномерных, т. е.
Р (аГ | РО =: б (| р | -1 а |) б (0- 0О + Ф («'))• (15.53)
Эта функция описывает эволюцию состояния поля из когерентного состояния | а) в момент t', когда мы задаемся любой частной слу-' чайной функцией f(t). Чтобы найти состояние в момент t, которое типично для набора возможных случайных функций, необходимо усреднить равенство (15.53) по ансамблю функций / (t). Мы можем записать это среднее как
