Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глаубер Р. -> "Оптическая когерентность и статистика фотонов" -> 65

Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.

Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов — М.: Мир, 1966. — 189 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskayakognetivnostfotonov1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 76 >> Следующая


H = H0 + Hf(t). (15.24)

Чтобы влияние стохастического члена проявилось наиболее ясно, мы будем решать уравнение Шредингера в представлении взаимодействия. Гамильтониан взаимодействия выразится тогда следующим образом:

Н) (t) = н°( Hf (t) e-WV н»t. (15.25)

Определим унитарный оператор Uf (t, t') как решение уравнения Шредингера

in ~ Uf (t, Г) = Н) (t) Uf (t, f), (15.26)

которое подчиняется начальному условию

Uf{t',t')= 1. (15.27)

Тогда, если обозначить вектор состояния поля в момент времени t символом 11), то он будет изменяться согласно преобразованию

It) = uf(t, о io.

Уравнение движения для оператора плотности в представлении взаимодействия q, (t) имеет вид

= Qi(t)]. (15.28)

Его решение, описывающее изменение оператора плотности во времени, можно записать с помощью унитарного оператора Uf.

Qi(t) = Uf(i, i')Ql(i')Uf(i, Г). (15.29)

Все выражения для функций корреляции поля, которые мы обсуждали выше, были построены согласно гейзенберговской картине квантовой механики, в которой векторы состояния и оператор плотности не зависят от времени. Когда же они изменяются со временем, как это имеет место в представлении взаимодействия,
необходимые величины должны быть построены несколько иначе. Требуемые выражения можно найти, если начать с формул для средних величин, взятых в гейзенберговском представлении, и применить затем унитарное преобразование к представлению взаимодействия.

Рассмотрим два произвольных оператора, зависящих от времени L (t) и М (t) в гейзенберговском представлении. Примером статистических средних, которые используются при расчете функций корреляции, может служить усредненное произведение (L (t) М (t'))f. Индекс у среднего означает, что оно подсчитано для некоторой частной реализации случайной функции f (t), от которой зависит стохастический гамильтониан. Среднее, вычисляемое в гейзенберговском представлении, есть

(L (t) М (*')>, = Sp {L (t) М (Г) q}, (15.30)

где q есть не зависящий от времени гейзенберговский оператор плотности.

Один из способов определения гайзенберговского представления (унитарно эквивалентного всем другим способам) заключается в том, что фиксированный гейзенберговский вектор состояния для системы предполагается идентичным вектору состояния в представлении взаимодействия в некоторой момент времени t0. Тогда соотношение

\t) = Uf(t,t0)\t0) (15.31)

выражает унитарное преобразование от гейзенберговских состояний Uo) к состояниям |0 в представлении взаимодействия. Соответствующие преобразования операторов L, М и q принимают вид

Lt (t) = Uf (t, t0)L(t)Uf(t, t0),

Mt(t) = Uf(t, t0)M(t)Uf(t, to), (15.32)

Qi(t) = Uf(t,to)QUf(t,to),

где индексы i обозначают форму операторов в представлении взаимодействия. Используя соотношения, обратные соотношениям (15.32), для того чтобы выразить операторы в равенстве (15.30), мы находим

(L (t), М (t'))f = Sp {Uf (t, t0) Lt (t) Uf (t, to) Uj1 (t', to) X

xMtinQtinUfV'J o)}. (15.33)

Поскольку оператор временного смещения Uf подчиняется мультипликативному закону

Uf(t,t')Uf(t',to) = Uf(t,to), (15.34)

то выражения для средних можно записать в форме

(L (t) М (t'))f = Sp {Lt (t) Uf (t, t') Mt (t') Qi (t') Uf (t, t')}. (15.35)
Оператор Uf в этом выражении учитывает действие возмущения поля в течение интервала между ? и t. Возмущение предполагается случайным, и среднее (15.35) оценивается для некоторых частных вариантов его поведения, т. е. для определенной случайной функции f (t). До того, как среднее можно было сравнивать с результатами экспериментов, оно должно быть еще раз усреднено по подходящему ансамблю случайных функций f (t). Последний процесс усреднения упрощается при использовании представления взаимодействия.

Так как произведение LM, которое нас интересует, имеет нормально упорядоченную форму, оно наиболее удобно для использования P-представления оператора плотности. Вследствие этого мы будем рассматривать только тот класс стохастических гамильтонианов, которые сохраняют возможность выражения оператора плотности с помощью P-представления. Другими словами, мы принимаем, что оператор (t) можно записать в форме

Qi (t) = ^ Р (a, t) | а) (а | d2a (15.36)

для всех моментов времени.

Если оператор плотности в момент t' соответствует чистому когерентному состоянию |а), т. е.

6г (О = | а) <а |, (15.37)

согласно (15.29), в любой момент t он будет выражаться следующим образом:

Qt(t) = Uf(t, О 6i (*'№(<. П =
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 76 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed