Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
следний из них есть, очевидно, гессиан, или определитель, образованный из производных второго порядка от кинетической энергии по qlt , qn. Обозначим его через Д•. Обратный определитель
••• ¦ Яп) д (Pi, ... , рп)
который является гессианом кинетической энергии, рассматриваемой как функция р, мы обозначим черев Др,
Если положить
фр +ео +оо Шр 1
е~т« ^ ^ е »bzpdPl ... <1рп =
— оо -оо
4-00 +^00 п
= ^ ’ j е ** dux... dun = (2яв)2 (140)
-оо -со
¦«-¦-V (141)
то доля ансамбля, заключенная внутри любых заданных границ конфигурации (136), может быть выражена в виде
b\dq1...dqn, (142)
причем постоянная может быть определена условием, что значение интеграла, взятого по всем конфигурациям, равно единице *).
Когда ансамбль систем распределен по конфигурациям так, как описывается этой формулой, т. е. когда его распре-
*) В простом, но важном случае, когда Д9* не зависит от q и tg есть квадратичная функция д, если мы обозначим черев ев наименьшее значение (или е), совместимее с данными значениями внешних координат, то уравнение, определяющее фд, можно написать в виде
jl-f-00 +оо Cg-ва
е в = Д1 ^ ^ аЯп-
— 00 -оо
Если мы обозначим через gj,..., q'n значения glt придающие
ее наименьшее значение е„, то очевидно, что sg — s„ есть однородная квадратичная функция разностей — q[,... и что dqu ..., dqn можно рассматривать как дифференциалы этих разностей. Следовательно, вычисление этих интегралов аналитически подобно вычислению интеграла
+ 00 +оо гр
S-5
e^dpt ... dpn,
ГЛ. V. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ 63
деление по конфигурациям такое же, как у ансамбля, канонически распределенного по фазам, мы можем сказать, отвлекаясь от его скоростей, что он канонически распределен по конфигурациям.
Для любой заданной конфигурации часть систем, лежа? щая внутри каких-либо заданных границ скорости, дается
—
для которого мы нашли значение (2*0)2 . Тем же методом или по аналогии мы получим
1
где — гессиан потенциальной энергии, рассматриваемой как функция q. Легко видеть, что \q зависит от сил системы и не зависит от масс, тогда как или обратная ему величина зависит от масс и не зависит от сил. Хотя значение всякого гессиана зависит от употребляемой
^9
системы координат, отношение одно и то же для всех систем. Умножая последнее уравнение на (140), мы получаем •а-ф 1
Для среднего значения потенциальной энергии получаем
+ 00 -+00 е^-вд
^ ••• ^ («* — *а)е ® dqx...dqn
4-оо 4-оо гч-га ^ ... ^ е ® dq1...drjH
-00 — ОО
вычисление этого выражения подобно вычислению выражения
4-00 4-00 ер
spe *dp1...dpn
4-00 4-со ьр
е ^dp^-.dpn
которое дает среднее значение кинетической энергии и для которого 1
мы нашли значение у гав. Соответственно имеем
Складывая с уравнением
получаем
1
гд — &а~ *
8 — 8аааЛ0.
64 ГЛ. V. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ
отношением кратного интеграла
взятого в рассматриваемых границах, к значению этого же интеграла, взятого между пределами ± оо. Но значение второго кратного интеграла для пределов ±оо, очевидно, равно
для чаоти систем какой-либо заданной конфигурации, заключенной внутри данных границ скорости.
Когда системы распределены по скоростям согласно этим формулам, т. е. когда распределение по скоростям подобно распределению ансамбля, канонически распределенного по фазам, мы скажем, что они канонически распределены по скорости.
Часть всего ансамбля, заключенная внутри каких-либо заданных фазовых границ, которую мы раньше выразили в виде
или ему эквивалентного
п
А§(2 кв)\
Следовательно, мы можем написать
Фа-®!*
(143)
или
(144)
или, наконец,
(145)
может быть также выражена в виде
ГЛАВА VI
ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИИ И ПРОСТРАНСТВО СКОРОСТЕЙ
