Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 *2
/ ^ ryiixi
(&)! к " ^ <ш>
Это выражение упрощается, если скорость выражена через соответствующую энергию. Если мы положим
1
то вероятность того, что s лежит между какими-либо задан-ными пределами, дается выражением
1
у*
Здесь s — отношение рассматриваемой компоненты скорости к той, которой соответствовала бы энергия 0; другими словами, s2 есть частное от деления энергии, соответствующей рассматриваемой компоненте скорости, на 0. Распределение по парциальным энергиям, соответствующим компонентам скоростей, будет, таким образом, одинаковым для всех компонент скоростей.
Вероятность того, что конфигурация заключена внутри каких-либо заданных границ, дается значением выражения
_3 3v ф-е^
М 2 (2*0) 2 ^ ^ е~ dx,... dz., (127)
для этих границ, причем М обозначает произведение всех масс. Это выражение получается из (121) подстановкой значений интегралов, относящихся к скоростям, взятых между бесконечными пределами.
Весьма сходные результаты можно получить в общем случае консервативной системы с п степенями свободы. Поскольку ер — однородная квадратичная функция всех р, она может быть разделена на части по формуле
r+--+-U§l’ (128>
где е;) в частных производных можно, не меняя смысла, заменить через е. Среднее значение первой из этих частей
e~sZ ds.
(126)
58 ГЛ. V. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ
для какой-либо заданной конфигурации выражается частным
Ч-оо +оо ф - е
5 ••• 5 **¦¦¦*?*
—Г2---------------------------. (129)
-|-00 4-0° ф-S
"' ^ 6 * dpx' ¦' dpn
-00 -оо
Но интегрирование по частям дает
-f со ф-е +оо ф -t
\p1eir?idpx = b\e» dPl. (130)
— ОО -оо
При подстановке этого значения вышеприведенное частное
я
сводится к —, и, следовательно, таково среднее значение
1 <9з
для данной конфигурации. Так как это значение не
зависит от конфигурации, оно должно быть также средним по всему ансамблю, в чем легко убедиться непосредственно. (Для того чтобы наше предыдущее доказательство было применимо непосредственно ко всему ансамблю, нам достаточно написать dpi .. . dqn вместо dpx . . . dpn в кратных интегралах.) Это дает для среднего значения полной кинетической энергии ка-
1
кой-либо заданной конфигурации или всего ансамбля ив,
как уже было показано для случая материальных точек.
Механический смысл различных частей, на которые подразделяется в уравнении (128) кинетическая энергия, станет ясным, если мы представим себе, что система в результате приложения соответствующих сил (отличных от тех, которые обусловлены sq, и достаточно больших, чтобы последними можно было пренебречь в сравнении с ними) была выведена из состояния покоя и приведена в состояние рассматриваемого движения настолько быстро, что в течете процесса не произошло заметного изменения конфигурации, и таким способом, что отношения скоростей также сохранились в течение процесса неизменными. Если мы обозначим через
Ftdqx -f . . . + Fn dqn
работу этих сил, то в течение периода их действия мы будем иметь, согласно уравнению (3),
ГЛ. V. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ 5*
Работу силы Ft можно вычислить следующим образом:
\ Fidqt = ^ pxdqг + ^ dq,,
причем последний член можно отбросить, так как конфигурация не меняется заметно за время действия сил. (Заметим, что другие члены содержат множители, возрастающие npi* убывании времени действия сил.) Таким образом, мы получаем
^ ^ Pikidt — ^ qxdp =.2j ^ pxdpx. (131)
Так как р являются линейными функциями q (с коэффициентами, содержащими q), то предполагаемое постоянство q и отношений q друг к Другу приводит к постоянству отношения q1/pl. Пределами последнего интеграла необходимо, очевидно, взять нуль и значение рх в первоначально рассматриваемой фазе, а величины, стоящие перед знаком интеграла*, должны также соответствовать этой фазе. Таким образом,.
^ (132>
Иными словами, отдельные части, на которые разделяется по уравнению (128) кинетическая энергия, представляют собой доли энергии, сообщаемые системе при рассматриваемых условиях различными силами Flt . . ., Fn.
Следующее преобразование не только позволяет получить значение средней кинетической энергии, но может также служить для того, чтобы отличить распределение ансамбля по конфигурациям от его распределения по скоростям.
