Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
w=s j " ’ \ ие * ^ фазы
Сравнивая с предыдущим уравнением, мы получаем
dty = id9— LdQ — A1da1 — Atdat-------------------
Или, так как
ф— 8
И
4* — s —
то
dty — i]dQ — Ах dax — Аг dat Далее, поскольку (111) дает
db — de = 9 dri + ¦») d&,
мы получаем также
dt = — 0 dfj — Аг dax — Л2 dat------------
54
ГЛ. IV* КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФАЗ
стороны, в статистическом уравнении rj определено полностью как среднее по каноническому ансамблю систем значение логарифма коэффициента фазовой вероятности.
Мы можем поэтому сравнить уравнение (112) с термодинамическим уравнением
ф _ rj dT — Аг dai — А2 da* — , (117)
в котором $ представляет собой функцию, получающуюся в результате вычитания из энергии произведения температуры и энтропии.
Насколько далеко или в каком смысле аналогия трех уравнений представляет собой доказательства термодинамических уравнений или дает возможность вывести какие-либо заключения о поведении материальных систем, как оно описывается теоремами термодинамики, является вопросом, ответ на который мы отложим до тех пор, пока не проведем дальнейшее исследование свойств ансамбля систем, распределенного по фазам в соответствии с рассмотренным законом. Аналогии, которые мы отметили, по меньшей мере дают повод к такому исследованию, которое естественно начать с определения средних пс ансамблю значений наиболее важных величин, относящихся к системам и к распределению ансамбля но различным значениям -этих величин.
ГЛАВА V
СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ СИСТЕМ
В простом, но важном случае системы, состоящей из материальных точек, употребляя прямоугольные координаты, мы получим для произведения дифференциалов координат
dxx dy1 dzx • • • dxy dyv dzv
и для произведения дифференциалов импульсов
т± dx1m1 dyxm1 dz1 • • • mv dx^m^dy^m^ dzw.
Произведение этих выражений, представляющее собой элементы фазового пространства, можно кратко записать в виде
тл dxx . . . ту dzv dxг . . . dzw]
тогда интеграл
л ^ ii®
\ ... \ е * т1 dxx . . . m>fdzwdx1 . . . dzy (118)
представляет вероятлосгь нахождения произвольно выбранной из канонически распределенного ансамбля системы в каких-либо заданных фазовых границах.
В этом случае
6 = ee + -f ¦ ¦ ¦ + Ymvzv (И9>
и
ф-е ^ -©5 miocf mv 2*
е в" = е в е . . . е . (120)
Потенциальная энергия sq не зависит от скоростей, и если пределы интегрирования по координатам независимы от скоро-отей и пределы нескольких различных скоростей не зависят как друг от Друга, так и от координат, кратный интеграл
56 ГЛ. V. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЮ АНСАМБЛЯ
может быть представлен произведением интегралов
ф-Sg miAi
^ ^ е dxt ... dzv ^ е ml dxx .. .
... \ е ** mv dzv. (121)
Это. показывает, что вероятность того, что конфигурация находится в каких-либо заданных границах, не зависит от скоростей и что вероятность того, что какая-либо компонента скорости лежит между какими-либо заданными пределами, независима от других компонент скорости и от конфигурации. Так как
+°° _mixj в ________
\ е 2Ь ml dxx = \f 2кmx0 (122)
- оо
11
+,°°i . -niiii
\ у mxa;*e 2e cfoj
- GO
го среднее значение той части кинетической энергии, которая
соответствует скорости xv выражаемое отношением этих инте-1
гралов, равно у 0. Это справедливо независимо от того,
берется ли среднее для всего ансамбля, или же для какой-либо специальной конфигурации, берется ли оно безотносительно к другим компонентам скоростей, или рассматриваются только те системы, в которых другие компоненты скоростей имеют определенные значения или лежат между определенными пределами.
Число координат равно 3v или п. Таким образом, для среднего значения кинетической энергии системы мы имеем
*р = у V0 = у п0. (124)
Это одинаково справедливо как тогда, когда среднее берется по всему ансамблю, так и тогда, когда оно ограничено отдельной конфигурацией.
Распределение систем по компонентам их скоростей следует -«закону ошибок»; вероятность того, что значение той или иной комцоненты скорости лежит между какими-либо заданными пределами, дается значением соответствующего интеграла в (121), взятого между этими пределами, деленным
= j/i-wn10\ (123)
ГЛ. V. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ 57
на (2тгт0)1/*, т. е. на значение того же интеграла при бесконечных пределах. Таким образом, вероятность того, что-значение хг лежит между какими-либо заданными пределами, дается выражением
