Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
*) См. главу I, стр/23.
68 гл. VI. ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИЙ И СКОРОСТЕЙ
т. е. размерность /г-ой степени энергии, так как каждое произведение типа pxqx имеет размерность энергии. Следовательно, скоростной объем имеет размерность корня квадратного из n-ой степени энергии. Из (155) и (153) мы видим, что произведение конфигурационного объема на скоростной объем имеет размерность га-ой степени энергии, умноженной на п-ую степень временя. Поэтому конфигурационный объем имеет размерность /г-ой степени времени, умноженной на корень квадратный из n-ой степени энергии.
С понятием конфигурационного пространства связаны некоторые другие понятия, подобные тем, которые встретились нам в связи с понятием фазового пространства. Число систем какого-либо ансамоля (независимо от того, распределен ли он канонически или каким-либо другим способом), содержащихся в элементе конфигурационного пространства, деленное на величину этого элемента, может быть названо конфигурационной плотностью. Другими словами, если некоторая конфигурация определяется координатами qu .. ., "qn и число систем, для которых координаты лежат между пределами qL и Qi + dqt1 ..., qn и qn + dqni дается выражением
i!
D^ldqi...dqn, (158)
Dq будет конфигурационной плотностью. И если мы положим
где N, как обычно, означает полное число систем ансамбля,
то вероятность того, что какая-либо неопределенная система
ансамбля заключена вяугри данных конфигурационных границ, выражается в виде ^
e^A? dqt . .. dqn. (160)
Мы можем назвать er,q коэффициентом вероятности конфигурации и у\д показателем вероятности конфигурации.
Доля всего числа систем, заключенная внутри каких-либо заданных конфигурационных границ, выражается кратным интегралом ^
^ ... (161)
Значение этого интеграла (взятого внутри каких-либо заданных границ конфигурации) не зависит, следовательно, от употребленной системы координат. Поскольку то же самое было доказано для того же самого интеграла без множителя то очевидно,
ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИЙ И СКОРОСТЕЙ
69
что значения yjq и D для данной конфигурации в данном ансамбле не зависят от употребляемой системы координат.
Понятие пространства скоростей относится к системам, имеющим одинаковую конфигурацию *). Если ансамбль распределен как по конфигурациям, так и по скоростям, мы можем обратиться к тем системам, которые заключены между некоторыми бесконечно малыми конфигурационными границами, и сравнить полное число таких систем с теми, которые заключены также между некоторыми бесконечно малыми границами скорости. Частное от деления второго из этих чисел на первое выражает вероятность того, что система, определенная только тем, что «она заключена между бесконечно малыми конфигурационными границами, заключена также между бесконечно малыми границами скорости. Если границы для скорости определены условием, что импульсы лежат между границами рх и px + dpu .. .
* • - , Рп и Pn + dpn, то скоростной объем в этих границах будет
_i_
Др dp,... dpn,
и мы можем выразить искомую вероятность в виде
1
е>Др2 dpi ... dpn. (162)
Это выражение можно рассматривать как определение т)р.
Вероятность того, что система, определенная только тем, что конфигурация ее заключена в некотором бесконечно малом интервале, находится также внутри каких-либо заданных границ скорости, выражается крагным интегралом
i_
^ ^e^ldp,...dpn (163)
или ему эквивалентным
^ ... $е>д]«&... dg„, (1*4)
взятым внутри данных границ.
*) За исключением некоторых простых случаев (например, случая системы материальных точек), мы не можем сравнивать скорости в одной конфигурации со скоростями в другой и говорить о их тождественности или отличии иначе, как в совершенно искусственном смысле. Мы можем, правда, сказать, что мы называем скорости в одной конфигурации одинаковыми со скоростями в другой конфигурации, когда величины Чу •••» Яп имеют одинаковые значения в обоих случаях. Но это утверждение ничего не означает, пока система координат не определена. Мы могли бы отождествить скорости в обеих конфигурациях в том случае, когда одинаковыми для обоих случаев являются величины
Ру •••»/>¦!• Но это опять не имеет смысла вне зависимости от упо-
требляемой системы координат.
70 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИИ И СКОРОСТЕЙ
Отсюда следует, что вероятность того, что скорости системы заключены между пределами дг и qx + dqv ..., qn и qn + dqnr выражается в виде
i_
е*Д (165)
