Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
Формулы последних абзацев предыдущей главы, относящиеся к каноническим ансамблям, приводят к некоторым общим понятиям и принципам, которые мы рассмотрим в этой главе и применение которых отнюдь не ограничено каноническим законом распределения*). Мы видели в главе IV, что природа распределения, названного нами каноническим, не зависит от системы координат, в которой оно описывается, и определяется полностью модулем. Отсюда следует, что величина, представленная кратным интегралом (142), т. е. часть ансамбля, лежащая между определенными граничными конфигурациями, не а а висит от системы координат и определяется полностью модулем и граничными конфигурациями. Далее, О, как мы видели раньше, представляет собой величину, независимую от системы координат, в которой она определяется. То же, очевидно, справедливо по уравнению (140) и для и, следовательно, по (141) для^*. Поэтому экспоненциальный множитель в кратном интеграле (142) представляет собой величину, не зависящую от системы координат. Отсюда следует, что значение кратного интеграла вида
1^
^...^ldqi...dqn (148)
но зависит от системы координат, употребляемой при его вычислении, что сразу же станет очевидным, если мы представим себе кратный интеграл разбитым на части, столь малые, что экспоненциальный множитель можно рассматривать в каждой части как постоянный.
*) Эти понятия и принципы при более логическом расположении материала следовало бы отнести к главе I, с которой они тесно связаны. Строгие требования логической упорядоченности были, однако, принесены нами в жертву естественному развитию предмета, и весьма элементарные понятия опущены до тех пор, пока они не выявились сами собою при изучении ведущих проблем.
СО *’Л. VI. ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИЙ И СКОРОСТЕЙ
Точно так же формулы (144) и (145), выражающие вероятность того, что (принадлежащая каноническому ансамблю)
система данной конфигурации заключена между определенными границами скорости, показывают, что кратные интегралы вида
ldpi--dpn (149)
ИЛИ
_1
А? (150)
относящиеся к скоростям, возможным для данной конфигурации, когда пределы образованы данными скоростями, имеют значения, не зависящие от используемой координатной системы.
Эти соотяошзняя легко проверить непосредственно. Было уже доказано, что
д (Pv ...,Рп)_д (glt ..., g„) # (<Iv • • •» Яп)
д '(а. • • ¦. Рп) o»(Qi.Q„) д (<?!,..., QH) ’
где qv...,qn, Pv-,Pn и Qi>--,Qn, Pi,--, Pn~ две системы координат и импульсов*). Отсюда следует, что
= с с pn)\l~ rad.......<?*..> у x
0 J \d g„) / ) ^d(Qy....Q„V
и
= С .. A fd(Qv <?.«) V /"d . .dPn —
J i \d (Px,P„)J \d(plt..., ft.) ?
=A . . . С V /3 (iV ¦¦,/>„) V~ (d(qv...,q'n) Л»
J J \ Pn)J ^^(Qi,...,Q„) /
________________x ** • • • <*A. - $ • ¦ • $ (Й?ги^)‘<ip- • • • d,,“
*) См. уравнение (29).
ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИЙ И СКОРОСТЕЙ
67
Кратный интеграл
^...[dp1...dpndq1...dqn, (151)
который можно также написать в виде
^ dqt. ..dqndqi.. .dqn, (152)
будучи взят внутри любых заданных фазовых границ, как было показано, имеет значение, не зависящее от употребляемых координат. Этот кратный интеграл выражает то, что мы называем фазовым объемом*). Точно так жз мы можем сказать, что кратный интеграл (148) выражает конфигурационный объем и что кратные интегралы (149) и (150) выражают скоростной объем. Мы назовем
dpt... dpndqt... dqn, (153)
что эквивалентно
Ья dqL.. •dqndg1. ..dqn9 (154)
элементом фазового пространства. Мы можем назвать
1
д \dqx...dqn (155)
элементом пространства конфигураций и
i_
Арdpx.. .dpn (158)
или эквивалентное ему выражение
i_
4dqx...dqn (157)
элементом пространства скоростей.
Фазовый объем всегда можно рассматривать как интеграл по элементарным конфигурационным объемам, умноженным на элементарные объемы пространства скоростей. Это очевидно из формул (151) и (152), выражающих фазовый объем, если мы представим себе, что в первую очередь выполнено интегрирование по скоростям.
Произведение двух выражений для элементарного объема пространства скоростей (149) и (150) имеет, очевидно, ту же размерность, что и произведение
Р\ • • • Рп ?1 • ¦ • ?п»
