Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
Общий случай можно свести к этому, более простому, следующим образом. Скорость V2 всегда можно рассматривать, как состоящую из двух скоростей F' и V\, из которых V' —
ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИЙ И СКОРОСТЕЙ 73
гой же природы, что и Vx (она может быть большей или меньшей по величине или обратной по знаку), тогда как У" удовле-гворяет соотношению, по которому кинетическая энергия, соответствующая комбинации VL и У*, равна сумме кинетических энергий, соответствующих этим скоростям, взятым порознь. В свою очередь, скорость У3 можно рассматривать, как состоящую из трех: У', У", V'9"9 из которых V'3 — той же природы, что Ух, У' —той же природы, что У', тогда как У'" удовле-гворяет условию, что если ее комбинировать с Vx или У', то кинетическая энергия комбинированной скорости равна сумме кинетических энергий скоростей, взятых в отдельности. Когда все скорости Уа, Vn разложены таким образом, квадратный корень из произведения удвоенных кинетических энергий отдельных скоростей V19 V", V'z" .. будет представлять собой искомый скоростной объем.
Рассмотренный нами метод вычисления скоростного объема, вероятно, является наиболее простым и естественным, но результат может быть выражен в более симметричной форме. Обозначим через е12 кинетическую энергию комбинированных скоростей Уj и Уа, уменьшенную на сумму кинетических энергий, соответствующих этим скоростям, взятым порознь. Энергию slt можно назвать взаимной энергией скоростей Ухи Уа. Пусть взаимная энергия каждой пары скоростей Vlf Vn выражена таким же образом. Аналогичным образом, пусть еп представляет собой энергию удвоенной Vl9 уменьшенную на удвоенную энергию V19 т. е. пусть еп представляет собой удвоенную энергию Vv хотя термин «взаимная энергия» в этом случае едва ли подходит. Тем не менее положим, что е11 имеет этот смысл, а е2а представляет собой удвоенную энергию У2 и т. д. Квадратный корень из определителя
и ги • • еш
(О
е»1 0) • • ?2 П
ю
8ш гпг * ¦ * елл
представляет собой значение скоростного объема, определенного, как выше, и описываемого посредством скоростей V V
г1» • • • t У п*
Положения предыдущего абзаца легко проверить по выражению (157) на стр. 67, именно,
A ?dqx . .. dqn,
при помощи которого было первоначально определено понятие элемента пространства скоростей. Поскольку в этом выра-
74 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИЙ И СКОРОСТЕЙ
жении представляет собой определитель, общим элементом которого является
дЧ dqidqj 9
то квадрат предыдущего выражения представляет собой определитель с общим элементом
d4 7* 7*
-^—r-dqtdqi.
dqidqj
Далее, мы можем рассматривать сами дифференциалы скоростей dqiy dq}- как бесконечно малые скорости. Тогда последнее выражение представляет взаимную энергию этих скоростей и
дч
dq*
dq\
представляет собою удвоенную энергию, соответствующую скорости dq\.
В рассмотренном нами случае мы имеем пространство скоростей в простейшем виде; не все пространства скоростей имеют этот вид, но все могут быть рассматриваемы, как состоящие из элементарных пространств этого вида, подобно тому как все объемы могут быть рассматриваемы, как состоящие из элементарных параллелепипедов.
Получив таким образом меру объемов в пространстве скоростей—заметим, основанную на динамическом понятии кинетической энергии и не содержащую в явном виде указания на координаты,—мы можем вывести из нее меру объема в пространстве конфигураций, пользуясь принципом, связывающим эти величины, рассмотренным выше в этой главе.
Меру фазового объема можно получить из мер конфигурационного и скоростного объемов, ибо каждой конфигурации в фазовом пространстве принадлежит некоторый скоростной объем и интеграл элементов конфигурационного объема в каком» либо фазовом объеме, помноженных каждый в отдельности на свой скоростной объем, является мерой фазового объема.
ГЛАВА VII
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ В КАНОНИЧЕСКОМ АНСАМБЛЕ СИСТЕМ
Вернемся к каноническому распределению. Мы имеем для показателя вероятности конфигурации
Ч9 = 1в^г. (178)
как это видно из сравнения формул (142) и (161). Из (142)
непосредственно следует, что среднее значение по ансамблю
какой-либо величины и, зависящей только от конфигурации, выражается формулой
ВОв tyq~Sq _!
й=^...^ие * &\dq1...dqn, (179)
конфиг.
где интегрирование распространено на все возможные конфигурации. Значение очевидно, определяется уравнением
Фф все Zq 1
\e~b4dqi...dqn. (180)
