Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
конфиг.
Дифференцируя последнее уравнение, мы можем получить результаты, аналогичные полученным в главе IV из уравнения
ф все
е W== 5 ••• 5 е *dPi-- dqn-
фазы
Поскольку оба процесса идентичны, достаточно привести результаты: _ _
= riqd9 — A1da1 — At dat — ..., (181)
или, поскольку
*«-•«+04. (182)
И
d% = dsq 4. ir)e dB + в dt\ql (183)
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ
ТО
daq = — 0 dr\q — A1dal — А2 da2 — .. . (184)
Из этих уравнений следует, что дифференциальные соотношения, существующие между средней потенциальной энергией по канонически распределенному ансамблю систем, модулем распределения, средним показателем вероятности конфигурации, взятым с обратным знаком, и средними силами, действующими на внешние тела, эквивалентны соотношениям, установленным Клаузиусом для потенциальной энергии тела, его температуры, величины, названной им дисгрегацией, и сил, действующих на внешние тела*).
Сравнивая (144) и (163) или (145) и (164), мы получим в случае канонического распределения для показателя вероятности скорости
Выражаемое этим уравнением дифференциальное соотношение между средней кинетической энергией, модулем и средним показателем вероятности скорости, взятым с обратным знаком, тождественно с соотношением, установленным Клаузиусом (loc. cit.) для кинетической энергии тела, температуры и величины, названной им трансформационным значением кинетической энергии**). Соотношения
также тождественны с соотношениями, установленными Клаузиусом для соответствующих величия.
*) Pogg. Ann., Bd. CXVI, S. 73 (1862); ibid. Bd. CXXV, S. 353 (1865). См. также В oltzmann, Sitzber. der Wien. Akad., Bd. LX1II, S. 728 (1871).
**) Verwandlungswert des Warmeinhalts (у Гиббса—«Transformation value of the kinetic energy». Перев.).
(185)
что дает
(186)
точно так же
(188)
(187)
Из этих уравнений дифференцированием получаем
(189)
(190)
И
dsp = — e<*v
е = ед + гр, ij = T)e+Y)p
ГЯ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ
11
Уравнения (112) и (181) показывают, что если ф или известно в виде функции 0 и то мы можем при
помощи дифференцирования получить s или eq и А1УА2,... в виде функций тех же переменных. В самом деле,
(191)
«,=Ф,-еч,=Фв-е^. (192)
Соответствующее уравнение для кинетической энергии
(193)
которое можно получить тем же способом, может быть проверено при помощи известных уже соотношений (186), (187) и (188) между его цеременвыми. Таким образом
= (194)
1 dax даг 4
и т. д., так что средние значения внешних сил могут быть выведены из ф или
Средние значения квадратов или высших степеней энергии (полной, потенциальной или кинетической) можно легко получить повторным дифференцированием <]>, <]>д; <!>р или elf гд, гр по 0. Из уравнения (108) мы имеем
все ф- с
* dPi - d4n, (195)
фазы
и, дифференцируя по 9,
все ф-е
(196>
фазы
и по (108)
ds __ S2 — фз , S d«(l
S9 в5-*+ 0 ' 5в
или
*’-0'в+:О-вЙ> <197>
*) Дифференцирование по в, соответствующее изменению при постоянных внешних координатах, дает полные проивводные и поэтому будет здесь и в дальнейшем обозначаться символом d. (Прим. пер. немецк. изд. Е. Zermelo.)
78
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ
Сопоставляя с (191), получаем
Точно так же из уравнения
все frg-sg !_
конфиг.
можно получить
Тем же путем, если мы ограничимся определенной конфигурацией, из уравнения
Поскольку это значение не зависит от конфигурации, мы видим, что среднее квадрата кинетической энергии для каждой конфигурации одинаково и, следовательно, совпадает со средним для всего ансамбля. Мы можем поэтому истолковать вр либо как среднее для любой частной конфигурации, либо как среднее для всего ансамбля. Необходимо отметить, что значение этой величины вполне определяется модулем и числом степеней свободы системы и в других отношениях не зависит от природы системы.
Особую важность представляют флюктуации энергий или их отклонения от средних значений. Среднее значение этих флюктуаций есть, конечно, нуль. Естественной мерой подобных флюктуаций является квадратный корень из их среднего квадрата. Но
