Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
Значение интегралов (163) и (164) не зависит от употребляемой системы координат и импульсов, так же как и значение тех же интегралов без множителя е4*; следовательно, значение также не должно зависеть от системы координат и импульсов. Мы можем назвать е*р коэффициентом вероятности скорости и тг)р показателем вероятности скорости.
Сравнивая (160) и (162), мы получаем
(166>
или
•Пв + •»!/> = ¦»! • (167)
Иными словами, произведение коэффициентов вероятности конфигурации и скорости равно коэффициенту вероятности фазы; сумма показателей вероятностей конфигурации и скорости равна показателю фазовой рероятности.
Очевидно, что е^9 и е^р имеют размерности, обратные соответственно размерностям конфигурационного и скоростного
п _ п
объемов, т. е. размерности Гпе 2 и е 2, где * — время и е —
энергия. Если, следовательно, единица времени умножается
на ct и единица энергии—на се, то каждое возрастает на слагаемое
п log ct + у п log с©, (168)
а каждое т)р — на слагаемое
— п log се *). (169)
Необходимо отметить, что величины, которые были названы конфигурационным объемом и скоростным объемом, не являются чисто геометрическими или кинематическими понятиями, как это можно было бы заключить из употребляемых терминов. Чтобы полнее выразить их существо, было бы более целесообразно назвать их соответственно динамической мерой конфигурационного пространства и динамической мерой пространства скоростей. Они зависят от масс, но не от сил системы. В простом случае материальных точек, где каждая точка огра-
*) Ср. (47), глава I.
гл. VI. ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИЙ И СКОРОСТЕЙ
71
ничена заданным объемом, конфигурационный объем равен произведению объемов, в которых находятся отдельные точки (они могут быть одними и теми же или разными), умноженному на корень квадратный из куба произведения масс отдельных точек. Скоростной объем для таких систем проще всего определить как конфигурационный объем систем, удалившихся от одной и той же конфигурации за единицу времени с данными скоростями.
В общем случае понятия пространства конфигурационного и пространства скоростей могут быть связаны следующим образом.
Если ансамбль взаимно подобных систем с п степенями свободы имеет одинаковую для всех систем конфигурацию, но распределен по какому-либо конечному скоростному объему в какой-либо данный момент, то тот же ансамбль через бесконечно малый промежуток времени Ы будет распределен по конфигурационному объему, равному его первоначальному скоростному объему, умноженному на оtn. Чтобы доказать эту теорему, мы обозначим начальные значения координат через qi,..., g'n. Конечные значения, очевидно, связаны с начальными уравнениями
qi-q[=kxbt......?n-?n=?„8*. (170)
Но по определению начальный скоростной объем представляется интегралом
1
^ $Д? (171)
пределы в котором могут быть выражены уравнением типа
F(?,,..., ?п) = 0. (172)
Тот же интеграл можно написать, умножив его на постоянную 8f* в виде
2
^ ..:^ld(qiU)...d(qnU), (173)
а пределы выразить в виде
^(?i.....= •••» ЯпЩ = 0. (174)
(Заметим, что SJ, так же как Д^, постоянны при интегрировании.) Но этот интеграл тождественно равен интегралу
_i
^ .8. \A2id(q1—q[)...d(qn-qn) (175)
72 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИЙ И СКОРОСТЕЙ
или ему эквивалентному
1
(176)
с пределами, выражаемыми уравнением
•••> Яп-д'п) = 0.
(177)
Но системы, которые первоначально обладали скоростями, удовлетворяющими уравнению (172), спустя промежуток времени
будут иметь конфигурацию, удовлетворяющую уравнению (177). Следовательно, конфигурационный объем, представленный последним интегралом, принадлежит системам, которые первоначально имели скоростной объем, представленный интегралом (171).
Поскольку величины, которые мы назвали фазовым объемому конфигурационным объемом и скоростным объемом, не зависят от природы системы координат, использованной при их определении, естественно искать определений, не содержащих указаний на какие бы то ни было координаты. Достаточно привести следующие определения, без формального доказательства их эквивалентности ранее приведенным, так как они менее удобны в употреблении, чем те, которые основаны на использовании координатных систем, и так как мы не будем иметь случая ими воспользоваться.
Начнем с определения пространства скоростей. Мы можем представить себе п независимых скоростей V19 • ••, Ул, которыми способна обладать система некоторой заданной конфигу« рации. Мы можем представить себе систему обладающей некоторой скоростью F0, комбинированной с частью каждой иа этих скоростей Vlf •.Vn. Под частью скорости Vx разумеется скорость той же природы, что и V19 но имеющая любую величину от нуля до Vx. Далее, все описываемые таким образом скорости могут рассматриваться, как образующие некоторый объем или лежащие в некотором объеме, меру которого мы ищем. Задача значительно упрощается, если мы допустим, что между скоростями Vlf ..., Vn существуют некоторые соотношения, а именно, что кинетическая энергия, соответствующая комбинации любых двух из этих скоростей, равна сумме кинетических энергий, соответствующих этим скоростям по отдельности. В этом случае объем пространства движения равен корню квадратному из произведения удвоенных кинетических эноргий, соответствующих п скоростям Vv ..., Vni взятым порознь.
