Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гиббс Дж.В. -> "Основные принципы статистической механики" -> 24

Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.

Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики — ОГИЗ, 1946. — 204 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovnieprincipistaticheskoymehaniki1946.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 77 >> Следующая


Поскольку 2зр есть однородная квадратичная функция р> не могущая обладать отрицательным значением, она всегда может быть выражена (и притом несколькими способами) в виде суммы квадратов линейных функций р*). Коэффициенты в этих линейных функциях, подобно коэффициентам в квадратичной функции, должны рассматриваться в общем случае как функции q. Пусть

2s р = и\ + и\ + • • • + Ип» (133)

где uv . . ., ил — упомянутые линейные функции р. Если обозначить через

& (ру » •» » Рп^ д (Mi, ..., ип)

*) Приведение требует лишь повторного применения процесса «дополнения до квадрата», употребляемого при решении квадратных уравнений.
60 гл. V. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ

якобиан, т. е. определитель, составленный из частных пронесу ди'

др

водных вида — , то мы можем подставить

вместо

... dun

dp! . . . dpn

в кратные интегралы любой из наших формул. Необходимо заметить, что этот определитель является функцией одних только q. Знак подобного определителя зависит от относительного порядка переменных в числителе и знаменателе. Однако, поскольку индексы при и употребляются только для того, чтобы отличить эти функции друг от друга, и поскольку между р и и с одинаковыми индексами не предполагается никакого специального соотношения, мы можем, очевидно, не теряя в общности, предположить индексы выбранными так, чтобы определитель был положительным.

Так как и являются линейными функциями р, то если интегрирования охватывают все значения р (при постоянных q) по одному и только по одному разу, все значения и также будут охватываться по одному и только по одному разу и пределы для всех и будут равны ± 00 • Без предположения, сделанного в последнем абзаце, верхний предел не всегда будет равен + оо, как это становится очевидным при рассмотрении эффекта перемены знака ?/. Но при сделанном предположении (что определитель всегда положителен) мы можем взять верхний предел равным + °° и нижний - оо для всех гг. Аналогичные соображения применимы и тогда, когда интегрирование не распространяется на все значения р и, следовательно, на все значения и. Интегралы всегда можно взять от меньшего значения и до большего.

Общий интеграл, выражающий долю ансамбля, заключающуюся внутри каких-либо заданных фазовых границ, приводится таким образом к виду

— / \ *

е * д (Z .'.1| е" 2* du' • • • du"d4i • • • d^- (134

Следовательно, для среднего значения части кинетической шергии, выражаемой ywj, независимо от того, берется Л1 среднее по всему ансамблю или только для данной конфигу
ГЛ. V. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ 61 рации, мы имеем

+оо

С 1 - — 1

^_и., 2»dUl

. - - )*

— и! = —------------------= -^-—2— = %., (135)

2 1 +“ „I 12’ к ’

^ е~2ё dUi (2п9)2

-ОО

а для среднего значения всей кинетической энергии у п9,

как и раньше.

Часть ансамбля, заключенную внутри каких-либо заданных границ конфигурации, найдем интегрирование*м (134) по w от — оо до -J-оо. Это дает

- S & *&::::&*«¦ - '»*• (136)

откуда следует, что значение якобиана не зависит от способа, которьш 2гр разлагается на сумму квадратов. Мы можем непосредственно проверить это и в то же время получить более простое выражение для якобиана следующим образом.

Заметим, что, поскольку и являются линейными функциями

р, а р—линейными функциями q, то и должны быть также

линейными функциями q, так что производная вида будет

независима от q и будет функцией только q. Будем обозначать через Jj* общий элемент якобиана. Мы имеем

V Г=П

дрх д дг д д& диг

диу диу ддх диу r=1 dur dqx

r=n

= (137)

_ ^ дил. du- da~ J да,. da.. da~

(138)

r-1 4 duv дит дЯх ' дЯх диу дЯх

следовательно,

^ (Pi > ¦¦¦ I Рп) = ^ (ЩI • • • t цп) d{Ul' ¦ ¦ ’Un)~ d(9i, ... ,9п)

f 9(Pi......Р„) V _ / ......Un) N * _ d(plt ... . Рп) '

\ д (Ult ... , Un) J ... ,и) у d(qt.......q„) ’

Все эти определители являются функциями только q *). По-

*) Необходимо отметить, что доказательство выражения (137) зависит

от линейности соотношений между и и q, которая делает постоянной

&Ях

по отношению к рассматриваемым вдесь дифференцированиям. Ср. примечание на стр. 25.
62 ГЛ. V. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМЁЛЯ
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 77 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed