Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гиббс Дж.В. -> "Основные принципы статистической механики" -> 15

Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.

Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики — ОГИЗ, 1946. — 204 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovnieprincipistaticheskoymehaniki1946.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 77 >> Следующая


dR = Ce~kdU = CU^e-W”1 dk19

(65)

(68)

(69)

(70)
ГЛАВА III

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА К ИНТЕГРИРОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ *)

Мы видели, что принцип сохранения фазового объема можно выразить в виде дифференциального соотношения между координатами и импульсами и произвольными постоянными интегральных уравнений движения**). Но интегрирование дифференциальных уравнений движения состоит в определении этих постоянных в виде функций координат, импульсов и времени, и соотношение, выражаемое принципом сохранения «фазового объема, может помочь при этом определении.

Для удобства воспользуемся обозначением, в котором не делается различия между координатами и импульсами. Если мы обозначим через г19 ... , г2п координаты и импульсы, а через а, ... , /г, как и раньше, произвольные постоянные, то принцип, которым мы хотим воспользоваться и который выражается уравнением (37), может быть написан в виде

Чъ-:тж=/<-а’ <71)

Рассмотрим сначала случай, в котором силы определяются только координатами. Являются ли силы «консервативными» мли нет, — несущественно. Благодаря тому, что дифференциальные уравнения движения не содержат времени t в конечной форме, если мы исключим dt из этих уравнений, мы получим 2п — 1 уравнение в г19.,.,г2п и их дифференциалах, интегрирование которых введет 2тг —1 произвольную постоянную; последние мы обозначим через 6, .. . , /г. Если мы сможем осуществить это интегрирование, то остающаяся постоянная а войдет при последнем интегрировании (именно, при интегриро-

*) См. В о 1 t z m a n n, Zusammenhang zwischen den Satzen uber das Verhalten mehratomiger Gasmolekule mit Jacobi’s Prinzip des letzten Multiplica tors, Sitzb. der Wiener Akad., Bd. LXIII, Abt. II, S. 679 (1871).

**) Гиббс пользуется термином «интегральные уравнения движения» вместо термина «интегралы движения». {Прим. пер.)
38 ГЛ. HI. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

вании уравнения, содержащего dt) и будет прибавляться к t в интегральном уравнении или вычитаться из него. Пусть она вычитается из t. Тогда очевидно, чго

?--'.•••• <72> Более того, поскольку Ь, . . ., h и t—а — независимые функции г19 . .. , г2п9 последние переменные являются функциями первых. Якобиан в (71) является поэтому функцией 6,...

... , к и t — а9 и, поскольку он не изменяется с t9 он не может также изменяться и с а. Мы получаем, 7аким образом, в рассматриваемом случае, т. е. когда силы суть функции только координат,

.....*>• <*>)

Допустим теперь, что из числа 2п — 1 первых интегрирований мы осуществили все, кроме одного, определив 2п — 2 произвольные постоянные (скажем, с, . . . , h) в виде функций гх, ... , г2п9 так что остается еще определить b на. Наши 2п — 2 конечных уравнения позволяют нам рассматривать все переменные г19 . .. , г2п и все функции этих переменных как функции двух из них (скажем, гг и г2), с произвольными постоянными с, .. . , h. Чтобы определить 6, мы имеем следующие уравнения для постоянных значений с, ... ,/г:

dr1 = ^i da + ^r db, dr2=~da + ~ db 1 da 1 ob ’ 2 da 'db

и отсюда

Но по обычной формуле для замены переменных

5 • • • 51 («,’ ь)da dbdr* • • •dr*«= \ •• • 5 •• •

- S "¦ S в («. • •4*' «(*,.'¦ ¦ '.',rljd,‘dbdr,...dr„,

причем границы кратных интегралов образованы теми же фазами. Поэтому

<> (гп г2)_<> (г ..Г2п) д (с, . . . , h)

д(а9Ь) д (a,..., h) •d(rs...г*)’ 1/0>

С помощью этого уравнения, являющегося тождеством, и
ГЛ. IIT. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 39

уравнения (72) мы можем переписать уравнение (74) в форме /<*••• "% db = К drt- г, drt. (76)

д (а, . . . , К) д (г3, .... г2п) 2112 v /

Теперь разделение переменных осуществляется просто. Дифференциальные уравнения движения дают выражение гх и г2 через г19 ... $ г2п. Полученные уже интегральные уравнения

дают с, . .. , /г и, следовательно, якобиан ~г~ : '' ' ~ в виде

° (/’в* • • • > гъг)

функций тех же переменных. Однако, в силу этих же интегральных уравнений, мы можем рассматривать функции от

• • • > г2п как функции от гг и г2 с постоянными с, .. . , h.

Следовательно, если мы перепишем уравнение (76) в виде

У'(а,db - dr- <”)

д (rZf • * * , г2п) д (Г3> • • • , Г2п)

коэффициенты при dr1 и dr2 могут быть рассматриваемы в качестве известных функций от гг и г2 с постоянными с, ... ,h.

Коэффициент при db в силу (73) есть функция от 6, ... fh.

Правда, он не является известной функцией этих величин, но, поскольку с, .. . , h рассматриваются в уравнении (77) как постоянные, мы знаем, что первый член должен представлять собой дифференциал некоторой функции от Ь, ... ,h, которую мы обозначим через 6'. Таким образом мы получаем уравнение
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 77 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed