Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
dR = Ce~kdU = CU^e-W”1 dk19
(65)
(68)
(69)
(70)
ГЛАВА III
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА К ИНТЕГРИРОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ *)
Мы видели, что принцип сохранения фазового объема можно выразить в виде дифференциального соотношения между координатами и импульсами и произвольными постоянными интегральных уравнений движения**). Но интегрирование дифференциальных уравнений движения состоит в определении этих постоянных в виде функций координат, импульсов и времени, и соотношение, выражаемое принципом сохранения «фазового объема, может помочь при этом определении.
Для удобства воспользуемся обозначением, в котором не делается различия между координатами и импульсами. Если мы обозначим через г19 ... , г2п координаты и импульсы, а через а, ... , /г, как и раньше, произвольные постоянные, то принцип, которым мы хотим воспользоваться и который выражается уравнением (37), может быть написан в виде
Чъ-:тж=/<-а’ <71)
Рассмотрим сначала случай, в котором силы определяются только координатами. Являются ли силы «консервативными» мли нет, — несущественно. Благодаря тому, что дифференциальные уравнения движения не содержат времени t в конечной форме, если мы исключим dt из этих уравнений, мы получим 2п — 1 уравнение в г19.,.,г2п и их дифференциалах, интегрирование которых введет 2тг —1 произвольную постоянную; последние мы обозначим через 6, .. . , /г. Если мы сможем осуществить это интегрирование, то остающаяся постоянная а войдет при последнем интегрировании (именно, при интегриро-
*) См. В о 1 t z m a n n, Zusammenhang zwischen den Satzen uber das Verhalten mehratomiger Gasmolekule mit Jacobi’s Prinzip des letzten Multiplica tors, Sitzb. der Wiener Akad., Bd. LXIII, Abt. II, S. 679 (1871).
**) Гиббс пользуется термином «интегральные уравнения движения» вместо термина «интегралы движения». {Прим. пер.)
38 ГЛ. HI. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
вании уравнения, содержащего dt) и будет прибавляться к t в интегральном уравнении или вычитаться из него. Пусть она вычитается из t. Тогда очевидно, чго
?--'.•••• <72> Более того, поскольку Ь, . . ., h и t—а — независимые функции г19 . .. , г2п9 последние переменные являются функциями первых. Якобиан в (71) является поэтому функцией 6,...
... , к и t — а9 и, поскольку он не изменяется с t9 он не может также изменяться и с а. Мы получаем, 7аким образом, в рассматриваемом случае, т. е. когда силы суть функции только координат,
.....*>• <*>)
Допустим теперь, что из числа 2п — 1 первых интегрирований мы осуществили все, кроме одного, определив 2п — 2 произвольные постоянные (скажем, с, . . . , h) в виде функций гх, ... , г2п9 так что остается еще определить b на. Наши 2п — 2 конечных уравнения позволяют нам рассматривать все переменные г19 . .. , г2п и все функции этих переменных как функции двух из них (скажем, гг и г2), с произвольными постоянными с, .. . , h. Чтобы определить 6, мы имеем следующие уравнения для постоянных значений с, ... ,/г:
dr1 = ^i da + ^r db, dr2=~da + ~ db 1 da 1 ob ’ 2 da 'db
и отсюда
Но по обычной формуле для замены переменных
5 • • • 51 («,’ ь)da dbdr* • • •dr*«= \ •• • 5 •• •
- S "¦ S в («. • •4*' «(*,.'¦ ¦ '.',rljd,‘dbdr,...dr„,
причем границы кратных интегралов образованы теми же фазами. Поэтому
<> (гп г2)_<> (г ..Г2п) д (с, . . . , h)
д(а9Ь) д (a,..., h) •d(rs...г*)’ 1/0>
С помощью этого уравнения, являющегося тождеством, и
ГЛ. IIT. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 39
уравнения (72) мы можем переписать уравнение (74) в форме /<*••• "% db = К drt- г, drt. (76)
д (а, . . . , К) д (г3, .... г2п) 2112 v /
Теперь разделение переменных осуществляется просто. Дифференциальные уравнения движения дают выражение гх и г2 через г19 ... $ г2п. Полученные уже интегральные уравнения
дают с, . .. , /г и, следовательно, якобиан ~г~ : '' ' ~ в виде
° (/’в* • • • > гъг)
функций тех же переменных. Однако, в силу этих же интегральных уравнений, мы можем рассматривать функции от
• • • > г2п как функции от гг и г2 с постоянными с, .. . , h.
Следовательно, если мы перепишем уравнение (76) в виде
У'(а,db - dr- <”)
д (rZf • * * , г2п) д (Г3> • • • , Г2п)
коэффициенты при dr1 и dr2 могут быть рассматриваемы в качестве известных функций от гг и г2 с постоянными с, ... ,h.
Коэффициент при db в силу (73) есть функция от 6, ... fh.
Правда, он не является известной функцией этих величин, но, поскольку с, .. . , h рассматриваются в уравнении (77) как постоянные, мы знаем, что первый член должен представлять собой дифференциал некоторой функции от Ь, ... ,h, которую мы обозначим через 6'. Таким образом мы получаем уравнение