Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гиббс Дж.В. -> "Основные принципы статистической механики" -> 10

Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.

Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики — ОГИЗ, 1946. — 204 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovnieprincipistaticheskoymehaniki1946.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 77 >> Следующая


Поскольку любой фазовый объем можно подразделить на бесконечно малые части, то достаточно будет доказать наш принцип для бесконечно малого объема. Число систем ансамбля, заключенных в данном фазовом объеме, дается интегралом

^ ... \^Ddpx .. . dpn dqx .. . dqn.

Если объем бесконечно мал, то мы можем считать D постоян-

нь*1 во всем объеме и написать для числа систем

D ^ ... ^ dPl .. . dpn dqx .. . dqn.

*) Условие, чтосиль^х,..., Fn являются функциями qnn а1$а2,..., причем последние зависят от времени, аналитически эквивалентно уело вию, что Flt...,Fn являются функциями i и времени. Явное введе

ние внешних координат аг, а2.... сделано на предыдущих страницах пс той причине, что в дальнейшем нам потребуется рассмотреть эти координаты и связанные с ними силы А1ъ Л2,..., представляющие действия системы на внешние тела.
"24

гл. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА

Величина этого выражения должна быть постоянной во времени, так как ни одна система не предполагается возникающей или исчезающей и ни одна не проходит через границы, поскольку движение границ тождественно с движением систем. Но мы видели, что D постоянно во времени и, таким образом, интеграл

[ ^dpl...dpndql... dqn,

который мы назвали фазовым объемом, также постоянен во времени *).

Поскольку система координат, употреблявшаяся в предыдущих рассуждениях, совершенно произвольна, значения координат, относящиеся к какой-либо определенной конфигурации и непосредственно соседним с ней, не накладывают никаких ограничений на значения, относящиеся к другим конфигурациям. Из того факта, что величина, которую мы назвали фазовой плотностью, постоянна во времени для любой данной системы, следует, что ее значение независимо от координат, использованных для ее вычисления. В самом деле, пусть для одного и того же момента времени и одной и той же фазы Z>i— фазовая плотность, вычисленная в одной и D'% — в другой системе координат. Система, которая обладает в этот момент этой фазой, будет иметь в другое время другую фазу. Пусть плотность, вычисленная для этой второй фазы и второго момента в третьей координатной системе есть D"z. Мы можем

*) Если мы будем считать фазу представленной точкой в 2л-мер-ном пространстве, то изменения, происходящие со временем в нашем ансамбле систем, будут представлены в подобном пространстве некоторым потоком. Этот поток постоянен, поскольку внешние координаты не подвергаются изменению. В любом случае этот поток удовлетворяет вакону, который в своих различных формулировках аналогичен гидродинамическому закону, выражаемому словами сохранение объемов или сохранение плотности в окрестности движущейся точки ’«ли уравнением

, ду_ , i*___ft

дх ¦г ду ^ дг

Аналог этого уравнения в статистической механике, именно, уравнение

л.!>32.а. ..=о dpi dqi dp* dq*

выводится непосредственно из уравнений (3) или (6) и может быть приведено к теоремам, подобным формулированным выше, если даже не считать, что оно делает эти теоремы интуитивно очевидными* Несколько длинные доказательства, приведенные выше, должны все же по меньшей мере способствовать уточнению употребляемых понятий и облегчению их употребления.
ГЛ. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА

геперь вообразить себе систему координат, совпадающую з первой координатной системой в первой конфигурации и вблизи нее и с третьей системой во второй конфигурации и вблизи нее. Это дает D[ = D'^ Далее, мы можем вообразить себе систему координат, которая в первой конфигурации и вблизи нее совпадает со второй системой координат, а во второй конфигурации и вблизи нее — с третьей координатной системой. Это дает Z)' = D\. Следовательно, D[ = D'2.

Отсюда следует или может быть доказано тем же способом, что величина фазового объема не зависит от системы координат, употребляемой для его вычисления. Это можно легко проверить непосредственно. Если qv . .., qn, Q±, ..—две координатные системы и plf ..., рп, Р19 .Рп — соответствующие импульсы, то мы должны доказать, что

^ ...dpndqi... dqn =

= ^...^dPl...dPndQr..dQn, (24)

если кратные интегралы берутся в границах, относящихся к одним и тем же фазам. А это станет очевидным из принципа, по которому мы преобразуем переменные в кратном интеграле, если мы докажем, что

д (Рх, ..., Рп, Q1? ..., ^ (25)

д (А. • • •. Рп> 01» ¦ • ¦ * Яп) ’ ;

где левая часть уравнения представляет собой якобиан, или функциональный определитель. Поскольку все его элементы

вида ~ равны нулю, определитель сводится к произведению

Двух других, и мы должны доказать, что

д (Рг, ..., Рп) д (Qv ..., Qn) ^ /204

А») 0(01» •¦¦» flfn)

Мы можем преобразовать каждый элемент первого из этих определителей следующим образом. По уравнениям (2) и (3) и ввиду того, что Q выражаются линейными функциями q и, следовательно, р с коэффициентами, содержащими q, так что
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 77 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed