Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гиббс Дж.В. -> "Основные принципы статистической механики" -> 16

Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.

Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики — ОГИЗ, 1946. — 204 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovnieprincipistaticheskoymehaniki1946.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 77 >> Следующая


db'=3EhnKdr'--mhnEidr'' (78)

. . . , г2п) д (rs, . . . , Г2Л)

которое может быть проинтегрировано в квадратурах и дает Ь' в виде функции г19 г2, . .. , с, . .. , h и, следовательно, в виде функции г19 ... 9г2п.

Это интегрирование дает нам последнюю из произвольных постоянных, являющихся функциями координат и импульсов без времени. Заключительное интегрирование, которое вводит последнюю остающуюся постоянную а, является также квадратурой, поскольку интегрируемое уравнение может быть выражено в виде

dt = F (г х) drx.

Далее, отвлекаясь от всяких соображений, подобных приведенным, и ограничиваясь изменением во времени, мы имеем тождественно

r2 dr1-r1dr2^0, и г1 и г2 выражены через переменные . . . , г2л посредством
40 гл. III. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

дифференциальных уравнений движения. После того, как мь® получили 2/1 — 2 интеграла, мы можем рассматривать г2 и гь как известные функции переменных гх и г2. Единственное остающееся затруднение заключается в интегрировании этого уравнения. Если случай настолько прост, что не представляет затруднений, или если нам удалось найти или посчастливилось заметить, что множитель

или какой-либо другой обращает левую часть уравнения в полный дифференциал, то мы можем обойтись без достаточно длинных рассуждений, которые были приведены выше. Полезность принципа сохранения фазового объема состоит в. том, что он дает нам «множитель», который делает уравнение интегрируемым и который иначе было бы трудно или невозможно найти.

Заметим, что функция, обозначенная через Ъ', является частным случаем функции, обозначенной через Ь. Система произвольных постоянных а, Ъ', с, ... 9 h имеет некоторые, замечательные по своей простоте, свойства. Если мы напишем Ь' вместо b в (77) и сравним результат с (78), то мы получим

д(г1> * ¦ * » г2п) _ 4 /ОП\

5\а,Ъ',с.....h) (80)

Таким образом, кратный интеграл

взятый внутри границ, которые образованы фазами, рассматриваемыми как одновременные, представляет собой фазовый объем внутри этих границ.

Несколько иной случай получается, если силы определяются не только координатами, но являются функциями координат и времени. Все произвольные постоянные интегральных уравнений должны тогда рассматриваться в общем случае как функции переменных rlf . . . , г2п и t. Мы не можем уже воспользоваться принципом сохранения фазового объема раньше, чем осуществлено 2n—1 интегрирование. Допустим, что постоянные Ъ, . . . , h в результате интегрирования определены в виде функций переменных rv . . . , гт и t, и„ таким образом, остается лишь одна постоянная а, которую еще нужно определить. Наши 2лг — 1 конечные уравнения позволяют нам рассматривать все переменные гг, . . . ,г2п, как функции одной из них, скажем, гг.

1

а (с,, К) c)(rz, ... у г2п)

(79)
ГЛ. III. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 41

Для постоянных значений Ь, ... , h мы имеем

dri = d?da + rxdt. (82)

Далее,

5 • • • S ?гda dr* • • • dr*n = 5 ¦" Sdri ¦ ¦ ¦drm ==

= C ... C da ... dh— .

J J o (a, . . . , h)

— ^ ... { d ^ ' Г2п- d (b' ’ ’ ' ’/г)- da dr dr

~ J j d (a, . . . , h) d (r2, . . . , ГЯЯ) tfa • • ar“’

где границы интегралов образованы теми же фазами. Отсюда

?г_1 __ # (r1t . . . , rg.n) д (Ъ, . . . , /г) .ggv

oto (а, . . . , h) О (г2, . . . , г2?г) ' '

так что уравнение (82) может быть приведено к виду

^ л» - )(А- 1-- n ЙГ,--------А-^ dt. (84)

с* (а, . .. , h) d (6, ... , h) 1 d (b, . .. , h)

d (r2t ... , r2n) d (r2, ... , r2n)

Но мы знаем из (71), что коэффициент при da является

функцией а, ... А. Следовательно, поскольку, а, . .. , h рас-

сматриваются в уравнении как постоянные, левая сторона представляет собой дифференциал некоторой функции а, ... , А, которую мы обозначим через а'. Тогда

da’=- s w,'—у dr*—эн,dt (85)

» r2V) V (г2, • • • , гЧп)

— уравнение, которое можно интегрировать в квадратурах. В этом случае мы можем сказать, что принцип сохранения фазового объема дает «множитель»

0{Ь......................h) (8Ь)

^ (Г*, .. . , Г2п)

для интегрирования уравнения

dr1 — r1dt = 0. (87)

Система п роизвольных постоянных а', Ь, ... , А, очевидно, обладает такими же свойствами, как те, что были отмечены для системы а, ... , h.
ГЛАВА IV

О ТАК НАЗЫВАЕМОМ КАНОНИЧЕСКОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ФАЗ, ПРИ КОТОРОМ ПОКАЗАТЕЛЬ ВЕРОЯТНОСТИ ЯВЛЯЕТСЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ ЭНЕРГИИ
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 77 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed