Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гиббс Дж.В. -> "Основные принципы статистической механики" -> 13

Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.

Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики — ОГИЗ, 1946. — 204 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovnieprincipistaticheskoymehaniki1946.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 77 >> Следующая


Поскольку сумма вероятностей всех возможных случаев необходимо равна единице, то, очевидно,

хлде интегрирование производится по всем фазам. Это —по ‘существу лишь другая форма уравнения

которое можно рассматривать как определение N.

Значения коэффициентов и показатель вероятности фазы, подобно тем же величинам для фазовой плотности, независимы от системы координат, в коюрой выражено распределение по фазам данного ансамбля.

По размерности коэффициент вероятности обратен фазовому объему, т. е. имеет размерность, обратную тг-ой степени произведения энергии на время. При изменении единиц времени ш энергии показатель вероятности, следовательно, изменяется на аддитивную постоянную. Езли единица времени умножается на ct, а единица энергии — на cs, то все показатели вероятности, относящиеся к системам с п степенями свободы, возрастут на слагаемое

все

(46)

все

фазы

п log с, + п log с..

(47)
ГЛАВА II

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА К ТЕОРИИ ОШИБОК

Теперь поставим себе задачу связать принцип, который мы доказали в предыдущей главе и который в его различных применениях и при рассмотрении с различных точек зрения обозначался соответственно как сохранение фазовой плотности, фазового объема или вероятности фазы, с теми приближенными соотношениями, которые вообще употребительны в «теории ошибок».

Предположим, что дифференциальные уравнения движения системы известны точно, но постоянные в интегральных уравнениях определены лишь приближенно. Вероятность того, что импульсы и координаты в момент t' заключены между границами рх и p[-\mdp'vq[ и q[Jrdq[ и т. д., может быть, очевидно, выражена формулой

где т)' (показатель вероятности рассматриваемой фазы) —функция координат, импульсов и времени.

Пусть Q[, Р[, . . . суть значения координат и импульсов, соответствующие максимальному значению vf, и пусть общее выражение для г/ разложено в ряд Тэйлора по возрастающим степеням и произведениям разностей р[ — Р'1У q[ — ...:

предположим также, что достаточная степень точности получается уже без учета членов выше второго порядка в этих разностях. Мы можем тогда положить

где с не зависит от разностей р[ — Р[, q\ — Q[, ... и F'— однородная квадратичная функция этих разностей. Члены первой степени исчезают в силу условия максимума, требующего также, чтобы F' имело положительное значение, если только все упомянутые разности не равны нулю. Если мы положим

(48)

ц' = C-F'.

(49)

С = ес.

(50)
ГЛ. II. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА 33

мы можем вероятность того, что фазы заключены в рассматриваемых границах, выразит^ в виде

С является, очевидно, максимальным значением коэффициента вероятности в рассматриваемый момент.

В отношении степени приближения, даваемой этими формулами, необходимо отметить, что определение (явное или неявное) постоянных движения, как это обычно принято в «теории ошибок», предполагается имеющим такую точность, что коэффициент вероятности е1*' или Се—р' практически равен нулю, за исключением случая очень малых значений разностей р[—Р[у q[ — Для очень малых значений этих разностей

приближение, очевидно, вообще говоря, достаточно; для больших значений этих разностей Ce~F> будет почти равно нулю, как это и должно быть, и в этом смысле формула соответствует действительности.

Допустим, что силы, которые воздействуют на систему, являются функциями только координат или координат и времени. Тогда имеет силу принцип сохранения вероятности фазы, который требует, чтобы в любой другой момент tп миксимальное значение коэффициента вероятности было таким же, как в момент t’, и чтобы фаза (PXf (?,...)» обладающая этим наибольшим коэффициентом вероятности, была та, которая соответствует фазе (Р[, )i т* е* фазе,

вычисляемой из тех же значений постоянных интегралов уравнений движения.

Мы можем поэтому выразить вероятность того, что фаза в момент tn заключена между границами р[ и p[-\-dp[t qx и ql + dq[ и т. д. в виде

где С имеет то же значение, что и в предыдущей формуле, т. е. постоянное значение максимального коэффициента вероятности, F"—квадратичная функция разностей p\ — P\9

— Q*i> • • •» а (Pi> Ql> . Фаза» которая в момент t" соот-вествует фазе (Рх, Q[, ...) в момент t\

Далее, необходимо должно быть

J ^ Се~*’ dp[...dq;= ^ ^ Ce~F'dp\ .. .dqK= 1, (53)

причем интегрирование производится по всем возможным фагам. Границы всех координат и импульсов допустимо положить равными ± оо не потому, что эти значения представляют собой действительные пределы возможных фаз, но потому, что части

Ce~F'dp[ ... dq'n.

(51)

Ce~F’dp[ ... dq'M,

(52)
84 ГЛ. 1Ь ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА

интегралов, лежащие впе границ всех возможных фаз, практически имеют нулевое значение. При границах, равных ± со, наше уравнение дает
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 77 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed