Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гиббс Дж.В. -> "Основные принципы статистической механики" -> 11

Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.

Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики — ОГИЗ, 1946. — 204 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovnieprincipistaticheskoymehaniki1946.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 77 >> Следующая


производные вида являются функциями одних тол:ько qt мы получим *)

*) Форма уравнения

с) Эз р с) с)о j)

дру 8QX dQxдру
26

I Л. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА

Но так как

Л Jy (_дЧР__ ЩЛ =

дру Opv\dQxJ ^ \ dQr dQx dpv J

= -fL V (— * JtQ') — ^IL . (27)

ciQx~{ ''dQr dpv) dQxdpv dQx'

».-2 (Ш&У

TO

Следовательно,

dkv_ = dJhL. (28)

<9IPX,. .., pn) __ ...i gn) __ <9(?n ...,?*) :г (29)

diPv-,Pn) #(Qi. •".$«) ^(Qi> •••* Qn)

Уравнение, которое нужно доказать, сводится, таким образом, к

д (Яг...& (Qi............<?*) _ i (30)

^ (Qi. • • •, <?*> * ^ ..., ?#>) ’

которое легка проверить по обыкновенному закону умножения определителей.

Численное значение фазового объема будет, однако, зависеть от единиц, в которых мы измеряем энергию и время, ибо произведение вида dpdq имеет размерность энергии, умноженной на время, как это явствует из уравнения (2), определяющего импульсы. Отсюда фазовый объем обладает размерностью я-ой степени произведения энергия на время. Другими словами, он обладает размерностью и-ой степени действия в том смысле, в каком этот термин употребляется в «принципе наименьшего действия».

Если мы отметим штрихами значения импульсов и координат, относящиеся к моменту нештрихованные же буквы отнесем к моменту ty то принцип сохранения фазового объема можно написать в виде

{ ¦¦¦ ^ dpt ¦ ¦ ¦ dpn dqt ¦ ¦ ¦ dqn =

= \ • ' ^ dPi ' • • dpn dq[ ¦ ¦ ¦ dq„, (31)

в (27) напоминает фундаментальное тождество дифференциального исчисления, относящееся к порядку дифференцирования по независимым переменным. Но следует заметить, что здесь переменные Qx и Ру не независимы и что доказательство зависит от липешисти соотношения между О и р.
ГЛ. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА 2Т

или, короче,

J • • • J dft • • • dqn= J • • • dp'x ¦ • • dqn, (32)

причем граничными фазами являются те, которые принадлежат в моменты tut' одним и тем же системам. Однако, для таких границ мы имеем тождественно

5 - $<»*••••*.- 5 -

Отсюда принцип сохранения фазового объема можно выразить, в виде

& (ру « •.» Яп) __л /оо\

^.......й;> ( }

Это уравнение легко доказать непосредственно. В самом деле,, мы имеем тождественно

д (Рп ...» Яп) __ # (л» - •» g*)' д (К»• - •» gn)

^ (А » • • •» Ям) 0 (А» • • •» Й> ^ (Pi> • • •. Я») *

где двойные штрихи отмечают значения импульсов и координат для момента t". Если мы кБменяем г, тогда как и V остаются постоянными, то

d д(рх ,..., gn) д (р[, ..., g”n) d д (pv ..., g„) /олч

dt д (p't . .., q'n) д (/>', . .., q'n) dt d (/>', . . ., q") '

Далее, поскольку момент t” совершенно произволен, ничто не мешает нам сделать tn то?кдественным с t в рассматриваемый момент. Тогда в определителе

д <Рх...Яп)

все члены, расположенные по главной диагонали, будут равны

единице, остальные же будут равны нулю. Поскольку каждый член определителя, исключая произведение элементов главной диагонали, содержит два множителя, равных нулю, то дифференциал определителя сводится к дифференциалу этого произведения, т. е. к сумме дифференциалов этих элементов. Это дает уравнение

^ э (Pi....Яп) дк . , ! д}п

dt д 04, . . . , ?) - д/г ^ ’ ОРп <*Яг ¦ V *Яп ‘

Но, поскольку t~t', двойные штрихи во втором члене уравнения можно, очевидно, отбрссить. Зао дает, в силу соотношений, подобных (16),

? д (pv . ¦ Яи) 0 dt '
28 ГЛ. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА

что после подстановки в (34) дает

± д (/У- ¦ Яп) О dt d {р'л, . . ., q„)

Определитель в этом уравнении является, таким образом, константой, значение которой может быть определено в момент, для которого ? = ?', когда она, очевидно, равна единице. Уравнение (33), таким образом, доказано.

Далее, если мы обозначим через а9 ..., h систему 2п произвольных постоянных в интеграле уравнений движения, то Рп Qv • • • будут функциями а, ..h и t, и мы можем написать выражение фазового объема в форме

Если мы предположим, что границы задаются значениями то система, находящаяся первоначально в границах, останется и в дальнейшем в границах. Принцип сохранения фазового объема требует, чтобы объем, ограниченный таким образом, имел постоянное значение. Из этого следует, что определитель под знаком интеграла должен быть постоянным, что можно написать так:

Это уравнение, которое можно рассматривать как выражение принципа сохранения фазового объема, может быть выведено непосредственно из тождества
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 77 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed