Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛ. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА 21
границы из приведенных в (9). Но число систем, которые проходят через любую пару этих границ, представляется выражением, содержащим в качестве множителя квадрат dtr и, очевидно, при достаточно малом dt может не приниматься во внимание*по сравнению с числом, которое мы желаем вычислить и которое получается (при пренебрежении членами, содержащими dt2) подстановкой pxdt вместо р\ — р2 в (10) или вместо dpx в (И).
Выражение
Dpxdt dp2 ... dpndqx *. . dqn (13>
будет поэтому представлять, в зависимости от того, положительно оно или отрицательно, возрастание или убывание числа систем внутри данных границ, обязанное прохождению систем через границу р[. Подобное же выражение, в котором, однако, D и р имеют несколько отличные значения (поскольку они определяются в этом случае для p"iy а не для р[), представит возрастание или уменьшение числа систем при прохождении через границу р[. Разность обоих выражений, или
^Ldp1...dpndq1...dqndt, (14>
представляет алгебраически уменьшение числа систем внутри данных границ, обусловленное прохождением систем через границы р[ и pv
Уменьшение числа систем внутри наших границ, обусловленное прохождением систем через границы q' и можно получить тем же способом. Это дает
( • • • dPndqi • • • dqndt ^15)
для уменьшения, обусловленного прохождением четырех границ Pi у Pv Qv Qv Н° так как уравнения дви?кения (3) дают
|ft+4?i = 0, (16) dqi '
то выражение (15) приводится к виду
(жР1+Ш *0dpi • • •dpndqi ‘' ' dqndu (17)
Если мы поставим перед выражением (17) знак ^ для обозначения суммирования по индексам 1, .,/г, то мы получим
гл. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА
полную убыль числа систем внутри данных границ за время dt Оно имеет вид
где индекс при производной указывает, что все р л q рассматриваются при дифференцировании как постоянные. Условие статистического равновесия, следовательно, имеет вид
Если в какой-либо момент ото условие выполнено для всех
условие остается справедливым и распределение по фазам сохраняется постольку, поскольку остаются постоянными внешние координаты. Однако, статистическое равновесие, вообще говоря, будет нарушаться при изменении значений внешних координат, так как последнее сопровождается изменением значений р, определенных уравнениями (3), и, следовательно, нарушением соотношения, выраженного последним уравнением. Если мы напишем уравнение (19) в виде
то мы увидим, что оно выражает тез рему замечательной простоты. Поскольку D является функцией tt р19 . .., рт qlf . . .,qnt то се полный дифференциал состоит из частей, обусловленных изменениями всех этих величин. Далее, первый член уравнения представляет собой приращение D, обусловленное приращением t (при постоянных р и q), а остальная часть первого члена представляет собой приращение Z), обусловленное приращениями р и <7, выраженными через pxdt> qxdtf ... Но это — как раз ге приращения, которые р и q получают при движении системы в течение времени dt. Все выражение в целом представляет собой полное приращение D для изменяющейся фазы движущейся системы. Мы получаем, следовательно, теорему: Для ансамбля механических систем, тождественных по природе и подверженных влиянию сил, определенных тождественными законами, но распределенных по фазам любым непрерывным образом, фазовая плотность постоянна во времени для изменяющихся фаз движущейся системы при условии,
+^0dPi • ¦ •dp,t dqi“-dqn dt=
= - dD dPi... dp,dqt .., dqn, (18)
ИЛИ
(20)
вначений p и q,
исчезает, и, следовательно,
ГЛ. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА 23
что силы системы либо являются функциями только ее координат, либо же зависят еще и от времени*).
Эту теорему можно назвать принципом сохранения фазовой* плотности, который можно написать также в виде
где а, ..., Л представляют собой произвольные постоянные интегралов уравнений движения и написаны в качестве индексов при производной, чтобы отметить, чш они должны рассматриваться при дифференцировании как постоянные.
Мы можем дать этому принципу, несколько иное выражение. Назовем значение интеграла
^ ... ^ dpx ... dpn dqu. . .{dqn, (23)
взятого в любых границах, фазовым объемом внутри этих границ.
Если фазы9 ограничивающие фазовый объем, изменяются с течением времени согласно динамическим законам системы, находящейся под действием сил, которые являются функциями либо только координат, либо координат и времени, то величина ограниченного таким образом фазового объема остается постоянной. В этой форме наш принцип можно назвать принципом сохранения фазового объема. В известном смысле это положение можно рассматривать как простейшее выражение нашего принципа, так как в нем нет явного указания на ансамбль систем.
