Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
4^ = 4^=1. (54)
Yr Y Г
где /'—дискриминант*) F' и /"—дискриминант F". Этот дискриминант, таким образом, постоянен во времени и является, подобно С, абсолютным инвариантом по отношению к используемой системе координат. По размерности он, подобно Сш, обратен 2/г-ой степени произведения энергии на время.
Рассмотрим точно, как функции F' и Р" связаны между собой. Принцип сохранения коэффициента вероятности требует, чтобы любые значения координат и импульсов в момент t' сообщали функции F' то же значение, какое соответствующие координаты и импульсы в момент Г сообщают функции F". Поэтому F" может быть выведено из F' путем подстановки вместо р19 ... , qn их выражений через р[, ..., q'n. Далее, мы имеем приближенно
p[-P[ = pAp-Pl)+..-+^(Q«-Qn), 1 ..........; • • ...........*..........\ (55)
и так как в F* членами степеней выше второй можно пренебречь, эти уравнения можно рассматривать для целей требуемого преобразования как точные. Поскольку по уравнению (33) результирующая этих уравнений равна единице, то дискрими-нацт F" должен быть равен дискриминанту F', как это уже было получено в результате рассмотрения принципа сохранения фазы, выражающего по существу то же самое, что и уравнение (33).
В момент tf фазы, удовлетворяющие уравнению
F' = Jc, (56)
где к — произвольная положительная постоянная, имеют коэффициент вероятности Се~к. В момент tn соответствующие фазы удовлетворяют уравнению
F" = k (57)
и обладают тем же коэффициентом вероятности. Поэтому фазы, заключенные внутри границ, определяемых одним из этих
*) Этим термином обозначается определитель, элементы которого по главной диагонали представляют собой коэффициенты квадратов в квадратичной функции F\ а остальные элементы —половины коэффициентов произьедений в F'.
Гл. It. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА 35
двух уравнений, также являются соответствующими фазами и имеют коэффициенты вероятности, ббльшие Сt~h, тогда как фазы, находящиеся вне этих границ, имеют меньшие коэффициенты вероятности. Вероятность того, что какая-либо фаза в момент t' находится в границах F' = к, такова же, как вероятность того, что она оказывается в границах F" = k в момент t", так как одно из этих событий необходимо влечет за собой другое. Эту вероятность можно вычислить следующим образом.
Мы можем опустить штрихи, так как нам необходимо рассмотреть только один момент времени. Обозначим фазовый объем внутри границ F = к через U и вероятность нахождения фазы внутри этих границ через Я, а фазовый объем внутри границ F = 1 через Ulu По определению
F=k
U = dpx...dqn, (58)
F= к
R=\...\Ce-*dPl...dqa, (59)
F-l
U1=\...\dpl...dqn. (60
Однако, поскольку F—однородная квадратичная функция разностей
Pi Рц Рй -Р*» • • • I Qnpm~Qn> то тождественно
F=fc
5 • • • [ d (л—Л)- • (Ял—Qn) =
kF=k
= ^ (А-Л).. .d (qn-Qn) -
F=1
= кп^.. .^d d{qn-Qn).
Отсюда
U = knUx (61)
и поэтому
dU^U.nk^dk. (62)
Но при изменении к уравнения (Е8) и (59) дают
F~k-\-dk
96 ГЛ. II. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА
Так как множитель Ce~F в последнем кратном интеграле имеет постоянное значение Се~к, мы получаем
R = -CU^le-* ( 1 + ft + |s + • • • + (S)f) + consfc- (66>
Мы можем определить постоянные интегрирования условием, что R исчезает вместе с к. Это дает
R = CU1nl-CU1n\e~>‘(l + k+?+ • (67)
Мы можем определить значение константы Ux условием, что R — 1 для /с = оо. Это дает CUxn\ = 1 и
Целесообразно отметить, что форма этих уравнений зависит только от числа степеней свободы системы, будучи в других отношениях независимой от ее динамической природы,—исключая то, что силы должны быть функциями одних координат или координат и времени.
Если мы обозначим через
значение к, дающее при подстановке в уравнение (67) R = х/2, то фазы, определенные уравнением
будут обладать следующими свойствами.
Вероятность того, что какая-либо фаза находится внутри границ, образованных этими фазами, больше, чем вероятность того, что она находится внутри каких-либо других границ, заключающих равный фазовый объем. Она равна вероятности того, что фаза находится вне этих же самых границ.
Эти свойства аналогичны свойствам, которыми в теории ошибок при определении какой-либо отдельной величины обладают значения, выражаемые в виде А ± а, где А—наиболее вероятное значение, а а—«вероятная ошибка».
