Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
напротив величина
дЬ
dz
8 Произвол и в этом случай стесняется необходимостью выполнить условия на границах. Прим. ред.
28
Об интегралах уравнений гидродинамики
будет иметь два значения, разнящиеся на 2^г, если е обозначает толщину слоя. Уравнения (4) показывают, что и и w обладают одинаковыми значениями на обеих сторонах вихревой поверхности, a v значением, разнящимся на 2?б\ Таким образом, тот компонент скорости, который направлен перпендикулярно к вихревым нитям и касается поверхности, имеет на обеих сторонах вихревой поверхности различные значения. Внутри слоя вращающихся частиц нужно представлять себе соответственный компонент скорости возрастающих равномерно от того значения, которое имеет место на одной стороне поверхности, до значения на другой. В самом деле, если ? во всей толщине слоя остается постоянным, и а обозначает правильную дробь, vf — значение v на одной стороне, v\ — на другой, va — в самом слое на расстоянии ае от первой стороны, то легко видеть, что v' — v\ = 2^г, так как между обеими сторонами слой толщиною вги скорость вращения на нем ?. На том же основании vf — va = 2^еа = a(vf — v\), а в этом и заключается указанное положение. Вращающиеся частицы мы должны представлять себе движущимися и изменение в распределении их по поверхности зависящим от этого движения их; скорость каждой из них равна средней из скоростей, имеющих место в толще слоя; — эта скорость совпадает со средней арифметической скоростей, имеющих место на обеих сторонах слоя.
Такая вихревая поверхность образовалась бы, например, если бы две прежде разъединенные движущиеся жидкие массы пришли в соприкосновение. Тогда на поверхности соприкосновения скорости, перпендикулярные к ней, необходимо должны сравняться, скорости же, касательные к ней, были бы вообще в обеих массах жидкости различны. Таким образом, поверхность соприкосновения получила бы свойства вихревой поверхности.
Напротив, отдельные вихревые нити вообще нельзя представлять себе бесконечно тонкими, потому что иначе скорости на противоположных сторонах нити получали бы бесконечно большие и противоположные значения, вследствие чего собственная скорость нити сделалась бы неопределенной 19\ Но чтобы все-таки вывести некоторые общие заключения о движении весьма тонких нитей произвольного сечения, мы воспользуемся принципом сохранения живой силы. Прежде чем перейти к отдельным примерам, составим уравнение живой силы К дви-
§4. Вихревые поверхности и энергия вихревых нитей 29
жущейся жидкой массы:
(6) К = JJJ(и2 + v2 + w2)dxdy dz.
Полагая в интеграле на основании уравнений (4)
и2 = и
v2 = v
w2 = w
дР . dN dM
дх ду dz
dP,dL_ dN_\
ду dz dx J
' дР . дМ _ dL
к dz dx dy
и интегрируя по частям, обозначая затем через cos a, cos /5, cos 7 и cos'd косинусы углов, образуемых направленной внутрь нормалью к элементу duo границы жидкой массы с осями координат и с результирующей скоростью q, на основании уравнений (2) и (1)4 я получаю:
к = --f1
2 J du[Pqcos'& + L(v COS7 — w;cos/3)+ (6a) +М(ги cos a — и cos 7) + 7У(гл cos (3 — v cos a)] —
-h JJJ(L? + Mr] + N()dx dy dz 20^.
Чтобы получить выражение умножаем первое из уравнений (1)
на и, второе на v, а третье на w и складываем их:
=.f^+,j+4)+tfu^+^+,f
\ ох оу OZ) \ ох оу OZ
-ьШ+,№ + „№).
2 \ ох оу OZ I
Умножая обе части уравнения на dxdydz, интегрируем по всему объему жидкой массы, и помня, что на основании (1)4
/// (yU^+V^+W^)dXdydZ = ~ J^q C0S^d(J’
30
Об интегралах уравнений гидродинамики
где гр внутри жидкой массы обозначает непрерывную и однозначную функцию, получаем,
Если жидкая масса всецело заключена в неподвижных стенках, то q cos$ во всех точках поверхности должно равняться нулю, тогда
Если мы вообразим себе эту неподвижную стенку в бесконечном удалении от начала координат, а имеющиеся вихревые нити на конечном расстоянии, то потенциальные функции L, М, 7V, массы которых ?, 77, С каждая в сумме равна нулю, при бесконечном возрастании расстояния УК будут убывать пропорционально 2, а скорости, их производные, пропорционально 3; элемент поверхности duo будет возрастать пропорционально ?Н2, если он соответствует конусу с постоянным телесным углом при вершине в начал координат. Первый интеграл в выражении для К (уравнение 6а), который распространяется на всю поверхность жидкой массы, будет убывать пропорционально 9^_3, а следовательно, при УК бесконечном обратится в нуль 21\ Тогда величина К приведется к выражению
и эта величина при движении не изменяется.
§ 5. Прямолинейные параллельные вихревые нити
Будем исследовать тот случай, когда существуют лишь прямолинейные вихревые нити, параллельные оси Z, и жидкость либо заполняет все беспредельное пространство, либо ограничена двумя перпендикулярными к вихревым нитям плоскостями, что сводится к тому же. В этом случае все движения происходят в плоскостях перпендикулярных к оси Z и во всех этих плоскостях будут совершенно одинаковы. Таким образом,
