Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
Далее, дифференцируя уравнения (4) и принимая во внимание первые три из (5), находим, что
dv _ dw_ _ ус д_
dz ду дх
дЬ
дх
дМ
ду
дМ
dz
dw
дх
~1 =
д
dy
dL . dM . дМ дх ду dz
ди _ dv_ = 2С__________—
ду дх dz
dL
dx
dM
ду
дМ
dz
Таким образом, уравнения (2) будут также выполнены, если можно будет доказать, что во всем пространстве Si
(56)
dL
дх
дМ dN п ду dz
Что это действительно имеет место, ясно из уравнений (5а): dL , 1 fffCa{x-a)
dx 27г или, интегрируя по частям,
dL iff (?а)
ш
-da db dc,
dx 27г
dM dy
dN dz
hJJ hJJ? hJJ?
dbdc — —
Z7T
idta
dadc — —
Z7T
dadb — —
Z7T
Ш'Л
L f[[
>7T JJJ Г dc
da db dc,
da db dc,
da db dc.
§3. Интегрирование по объему 23
Складывая эти три уравнения и называя элемент поверхности Si через duo 15\ получаем:
Ъх l^z = /«“ C0S а + % C0S + Ca COS7)^duj-
Но так как внутри всего объема
д?а . дг]а д(а _
9а db дс
и на всей поверхности
(26) ?а cos а + т?а cos /3 + (а cos7 = О,
то оба интеграла равны нулю, и уравнения (5Ъ) так же, как и уравнения (2), удовлетворены. Следовательно, уравнения (4) и (5), или (5а) действительно суть интегралы уравнений (1)4 и (2).
Из этих формул обнаруживается упомянутая уже во введении аналогия между действием вихревых нитей и электромагнитным действием обтекаемых током проводов, аналогия, которая дает нам очень хорошее средство составить себе наглядное представление о характере вихревых движений.
Если мы вставим в уравнение (4) значения L, М и N из уравнений (5Ъ) и обозначим бесконечно малые части и, v и w, вносимые в интеграл пространственным элементом da dbdc, через А и, Av и Aw, а их равнодействующую через Ар, то: д„ = J
Z7T J'6
Д„ = ±
Z7T
Д» = ± {x-a)^Z{y-b)Udndbdc.
Z7T
Из этих уравнений следует, что
А и{х — а) + A v(y — Ъ) + Aw(z — с) = О,
24
Об интегралах уравнений гидродинамики
т. е. Ар — равнодействующая А и, А г;, Aw —образует с г прямой угол. Далее:
?аДм + r)aAv + СаАги = О,
т. е. та же равнодействующая и с осью вращения в точке а, 6, с образует прямой угол. Наконец:
Ар = у/ А и2 + Av2 + Аги2 = dbd0^ g-n ^
27ГГ
где сг — результирующая ?a, r]a, (a и i/ — угол ее с г, определяемый уравнением:
от cos и = (х- а)?а + (у - b)rja + (z - с)Са-
Таким образом, каждая вращающаяся жидкая частица а вызывает в каждой другой частице b той же жидкой массы скорость, направленную перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения частицы а и частицу Ь. Величина этой скорости прямо пропорциональна объему частицы а, скорости вращения ее и синусу угла между прямой аЬ и осью вращения, и обратно пропорциональна квадрату расстояния между обеими частицами.
Совершенно такому же закону следует сила, с которой действовал бы элемент электрического тока, текущего по оси вращения частицы а на магнитную частицу, расположенную в Ь 16).
Это математическое сродство двух классов явлений природы имеет свое основание в том, что при существовании в жидкости частицы а, вихрей, в тех частях жидкой массы, где нет вращательного движения, существует потенциал скоростей 0, удовлетворяющий уравнению
д2ф &Ф_ &Ф_ = п
Эх2 ду2 дг2 ’
и только внутри вихревых нитей это уравнение не имеет места. Но если мы представим себе вихревые нити всегда замкнутыми либо внутри жидкой массы, либо вне ее, то пространство, в котором имеет место дифференциальное уравнение для 0, будет многосвязным7, так как оно
7Исключительными являются те случаи, когда сама вихревая масса занимает односвязный объем, как, напр., сферический вихрь Хилла. См. Lamb. Hydrodynamics. 1895. — Прим. ред.
§3. Интегрирование по объему
25
останется связным, если мы вообразим в нем секущие поверхности, из которых каждая вполне ограничена вихревой нитью. Но в таких многосвязных пространствах функция 0, удовлетворяющая приведенному дифференциальному уравнению, может сделаться многозначной; она и должна быть многозначной, раз существуют замкнутые линии тока; в самом деле, скорости жидкой массы вне вихревых нитей выражаются производными функции ф; поэтому, следуя по линии тока, мы должны получать для ф все большие и большие значения. Так как эта линия сама собою замыкается, то, следуя по ней, мы возвратимся, наконец, в ту же точку, из которой вышли, и, таким образом, находим для этого положения второе большее значение ф. Так как этот обход можно произвести неограниченное число раз, то для каждой точки такого многосвязного пространства должно существовать бесконечное множество различных значений 0, которые разнятся между собой на одну и ту же величину, как это имеет место для различных значений многозначной функции arctg (^5 удовлетворяющей нашему дифференциальному уравнению 17).
