Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно:
J J(? cos a + 77 cos /3 + С cos 7) duo = 0,
или называя через сг результирующую скорость вращения и через 'д угол ее с нормалью,
JJ a cos 'д ¦ duo = 0,
где интегрирование распространяется на всю поверхность объема S.
Пусть теперь S представляет отрезок вихревой нити, ограниченной двумя бесконечно малыми плоскими элементами uof и сУ', перпендикулярными к оси нити; тогда cos^ для одного из этих элементов равен 1, для другого —1, на всей остальной поверхности нити равен нулю; пусть далее сг' и а" суть скорости вращения в точках сечений ио' и ио"; тогда последнее уравнение дает
откуда следует: произведение скорости вращения на поперечное сечение есть величина постоянная на всей длине одной и той же нити. Что оно не изменяется и при передвижении нити, это было доказано уже раньше.
Из этого положения вытекает также, что вихревая нить нигде внутри жидкости не может пресечься; она либо замыкается внутри жидкости, образуя кольцо, либо распространяется до границ ее. В самом деле, если бы вихревая нить кончалась где-нибудь внутри жидкости, то можно было бы построить замкнутую поверхность, для которой интеграл f a cos'd duo не равнялся бы нулю.
20 Об интегралах уравнений гидродинамики
§ 3. Интегрирование по объему
Если возможно определить движение имеющихся в жидкости вихревых нитей, то с помощью установленных положений вполне определяются и величины ?, rj и ?. Мы перейдем теперь к задаче об опреде-
лении скоростей и, v и w по по данным ?, rj и
Итак, пусть внутри жидкой массы, заполняющей пространство 5, даны значения 3-х величин ?, rj и С, удовлетворяющие условию:
^ ^ ^ = о (2а)
<Эх <Эу ^ '
Требуется найти гл, г? и w так, чтобы они внутри всего пространства S удовлетворяли уравнениям:
/-.ч ди , dv , dw п
(1)4 ^ + %+Э?=°’
(2)
_ dw _ у с dz dy ~
dw du = о
du dv _
L dy dx~ ^
Сюда присоединяются еще условия, которые должны выполняться на границах пространства S и которые зависят всякий раз от природы задачи. При данном распределении величин ?, rj и С может оказаться, что лишь часть вихревых нитей, заключенных внутри пространства 5, замыкаются, а все остальные нити достигают границ S и здесь обрываются. Нити этой последней категории всегда можно продолжить либо по поверхности 5, либо вне объема S так, чтобы они замкнулись, тогда мы будем иметь большой объем Si, который будет заключать в себе лишь замкнутые вихревые нити, и на поверхности которого величины ?, г1, С и сами результирующие их а будут равняться нулю, или, по крайней мере,
? cos а + rj cos /3 + ( cos 7 = a cos $ = 0.
(26)
§3. Интегрирование по объему
21
Здесь, как и раньше, а, (3 и 7 обозначают углы между нормалью в соответственной части поверхности Si и осями координат, $ — угол между нормалью и осью вихревого вращения.
Значения и, v, w, удовлетворяющие уравнениям (1)4 и (2), мы получаем, полагая:
дР . 8N дМ
дх ду dz 5
dN дх 5
дР Ш _ dL
dz дх ду'
и определяя величины L, М, N и Р из условий, чтобы внутри пространства Si
ду2 д2М
(4)
U =
v=dP + dL ду dz
w =
(5)
d2L
дх2
^ = 2? dz2 ^
д2М
дх2
d2N дх2
32Р
9у2
Э2ТУ
ду2
д2Р
д2М
dz2
d2N
dz2
д2Р
= 2V, = 2С,
дх2 ду2 dz2
= 0.
Как интегрируются эти уравнения — известно. L, М, N суть потенциальные функции воображаемых магнитных масс, распределенных
? v С
в пространстве Si с плотностями -7—,—7г!-и—7—;Р есть потенциаль-
Z7T Z7T Z7T
ная функция масс, расположенных вне пространства S 14). Обозначим расстояние точки с координатами а, Ь, с от точки (х, у, z) через г, а величины ?, г), С в точке (а, Ь, с) через ?а, г]а. (а; имеем:
(5а)
L = М =
N =
JJJ ^da dbdc,
_i/// ^dadbdc>
JJJ ^yda dbdc,
22
Об интегралах уравнений гидродинамики
где интегрирование распространяется на весь объем Si и
к
Р =
///
:da db dc,
где к — произвольная функция от а, 6, с и интегрирование распространяется на ту часть Si, которая лежит вне объема S. Произвольную функцию к нужно определить так, чтобы выполнялись граничные условия — задача, по своей трудности подобная задачам об электрических и магнитных распределениях. Что величины и, v и w, данные формулами (4), удовлетворяют условию (1)4, в этом легко убедиться, продифференцировав их и приняв во внимание четвертое из уравнений (5).
