Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельмгольц Г. -> "Основы вихревой теории" -> 11

Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.

Гельмгольц Г. Основы вихревой теории — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 82 c.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка): osnoviverhovoyteorii2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 28 >> Следующая


При прямолинейных вихревых нитях введение бесконечно малого поперечного сечения не приводит нас к недопустимым следствиям, потому что отдельная нить не имеет движущей силы относительно самой себя, а передвигается лишь под влиянием остальных имеющихся нитей. Иначе обстоит дело с искривленными нитями.

§ 6. Кольцеобразные вихревые нити

Пусть в жидкой массе, простирающейся в бесконечность, существуют лишь круговые вихревые нити, плоскости которых перпендикулярны к оси г и центры лежат на этой оси, так что вокруг нее все симметрично. Преобразуем координаты, полагая

x = xcoss, a = gcose,

у = Х sin?, b = g sine,

г = г, с = с.

Скорость вращения а по предположению есть функция лишь х и г или д и с, а ось вращения везде перпендикулярна к х (или д) и оси г 26).
34

Об интегралах уравнений гидродинамики

Отсюда прямоугольные компоненты вращения в точке с координатами д, е и с — суть

? =—сг sine, ту = сг cose, ( = 0.

В уравнениях (5а) будем иметь:

Г2 = (z - с)2 + х2 +д2 - 2Х9 cos(e - е),

В обоих интегралах углы е и е входят только в соединении (е — е), так что эта величина может быть рассматриваема как переменное под интегралом. Во втором интеграле части, в которых (е — е) = 5, сокращаются с теми, в которых (е — е) = 27т — поэтому он оказывается нулем. Положим

L= ^ТГ JJJ rfc’

м = ~h III ^T^gdgdtedc,

N = 0.

Умножая на cose: и sine и складывая уравнения для L и М 27\ получаем:

y/(z - с)2 + х2 + д2 - 2дх cos е ’

сг cos е • gdg de dc

тогда

М cos е —L sin e = ф.

M sin е +L sin ? = 0,

или

(7а)

L = — фБШЕ, М = фсОБ?.

Назовем через т скорость в направлении радиуса х и> обратив внимание на то, что в направлении окружности круга скорость должна
§6. Кольцеобразные вихревые нити

35

быть равной нулю (27а) вследствие симметричного положения вихревых колец относительно оси, получим:

u = r cos ?, v = rsin?:

и из уравнений (4)

01__Ш 0,_дЬ _ дМ dL

л 5 л 5 л л

oz oz ох ду

Отсюда следует

дгЬ дгЬ гЬ

Т = ~~dz' W=d^ + X'

ИЛИ

(г?иЛ 9{фх) д(Фх)

РЧ т* = -—’ xw = ~oT-

Таких образом, уравнение линий течения 28) будет

фх = const.

Выполняя указанное в выражении ф интегрирование прежде всего для вихревой нити с бесконечно малым поперечным разрезом, причем adgdc = mi, и обозначая обусловленную этим часть ф через фтп имеем

т1 Гд Г 2

Фт 1 тг А/ % "I Ж

{!(*¦-В)-*f},

(9 + х)2 + (г-»)2’

где F и Е обозначают полные эллиптические интегралы первого и второго рода для модуля к 29).

Положим для краткости

и = !(F - Е) - KF, где U — функция щ тогда
36

Об интегралах уравнений гидродинамики

Если в точке, определяемой координатами х и г, находится вторая вихревая нить ш, и мы назовем через т скорость в направлении g, которую она сообщает вихревой нити mi, то мы получим величину ti, если подставим в выражение для т

вместо г х 9 z с mi

П g х с z m.

При этом к и U остаются неизменными и m место равенство:

(8) ттх + ш\Т\д = 0.

Определим теперь величину w параллельной оси скорости, которая обусловлена вихревой нитью mi, с координатами д и с. Находим

_\m1 [g_TT,mi dU я Сz-c)2+g2 + x2 Х 2 7Г у X + к ^ dx ' 2Х' (д + х2) + (z - с)‘

Если мы обозначим через w\ скорость, параллельную оси г и обуславливаемую вихревым кольцом т, координаты которого суть z и х, в том месте, где помещается mi, то придется только произвести вышеуказанную уже замену соответствующих координат и масс. Тогда мы найдем, что 30);

(8а) 2mwx2 + 2miWig2 — 2mrxz — 2т\Т\дс = — ^J~gx U.

Подобные суммы, как в уравнениях (8) и (8а), можно составить для любого числа вихревых колец. Я обозначаю для n-го кольца произведение сг dg dc через mn, компоненты скорости, которую оно получает от остальных вихревых колец, через тп и wn, причем я пока не буду рассматривать скорость, которую каждое кольцо может сообщить самому себе.
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 28 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed