Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
Я называю далее радиус кольца через рп и его расстояние от неподвижной плоскости, перпендикулярной к оси, через Хп. Хотя обе эти величины по направлению и совпадают с х и г, но, принадлежа определенному вихревому кольцу, они представляют собой функции времени, а не независимые переменные, как % и г. Пусть, наконец, величина ф, насколько она обусловлена другими вихревыми кольцами,
§6. Кольцеобразные вихревые нити
37
будет фп. Тогда мы получим из уравнений (8) и (8а), составляя соответственные уравнения для каждой пары вихревых колец и складывая их 31):
[тпрптп} = О,
^ ^[2mnwnpn 2тптпрпХп] = ^ ^\т?1пРпФп\ •
Пока в этих суммах имеется конечное число раздельных и бесконечно тонких вихревых колец, мы под w, т и ф можем подразумевать только те части этих величин, которые обусловлены присутствием других колец. Но если представить себе, что пространство непрерывно заполнено бесконечно большим числом таких колец, то ф будет потенциальная функция непрерывной массы, a w и т — производные этой потенциальной функции. Известно, что назначение такой функции, и ее производных, массы, заключенные в бесконечно малом объеме, окружающем соответственную точку, оказывают бесконечно малое влияние в сравнении с массами, лежащими на конечном расстоянии9. Если поэтому мы перейдем от сумм к интегралам, то можем под w, т иф подразумевать полное значение этих величин в соответственной точке и положить
w=dX Т=?Р dt’ dt
Величину ш мы для этой цели заменим произведением adpdX.
II
a^dpdX = О,
dpd\ = JJ o^pфdpdX.
Так как произведение adpdX по §2 относительно времени 31а) постоянно, то уравнение (9) может быть интегрировано по ?, и мы получаем
ap2dpdX = const.
Вообразим себе, что пространство разделено плоскостью, проходящей через ось z и пересекающей, следовательно, все имеющиеся вихревые кольца, будем рассматривать а как плотность массивного слоя
9См. Гаусс в «Resultate des Magnetischen Vereins im Jahre 1839», стран. 7.
(9a) 2 Jf ap^dpdX -2 JJ apX
38
Об интегралах уравнений гидродинамики
и обозначим через Ш всю массу, лежащую в этом слое, так что
Ш = JJ a dp dX
и через R2 среднюю величину р2 всех элементов массы, тогда
ар ¦ pdpdX = ШШ2;
//¦
так как этот интеграл и величина Ш сохраняют при движении постоянное значение, то и R остается неизменным.
Поэтому, если в неограниченной массе жидкости существует только одна кольцеобразная вихревая нить с бесконечно малым поперечным сечением, то радиус ее остается неизменным.
Величина живой силы в нашем случае, согласно уравнению (6с), выражается так
К = —h JJJ(L? + Mrj)da db dc ¦ = —h JJJ фа ¦ pdpdXde =
= —27xh JJ фа -pdpdX.
Она также относительно времени постоянна 32).
Замечая далее, что adpdX относительно времени постоянно, имеем:
d_ dt
обозначая затем через I значение Л для центра тяжести поперечного сечения вихревой нити, умножая на эту величину уравнение (9) и складывая это последнее с уравнением (9а), мы приводим уравнение (9а) к следующему виду:
JJ ap2XdpdX = 2 JJ apX^dpdX + JJ ap2^dXdp\
(») 2| JJ crp2\dpd\ + 6 JJ crp(l — A)
Если поперечное сечение вихревой нити бесконечно мало иг — бесконечно малая величина того же порядка, как / — Ли остальные линейные размеры поперечного сечения, a adpdX конечно, то ф, а также К
§6. Кольцеобразные вихревые нити
39
будут количества бесконечно большие порядка log?\ Таким образом, для весьма малых значений расстояния v от вихревого кольца мы имеем:
V = у/(д- х)2 + {z- с)2,
, rn 1 , / \Л - X2 \ mi v 33)
фт1 = — log [ ----i---- ]=—log^ К
В выражении для К ф умножается еще на р или д. Если д конечно и v одного порядка с ?, то К будет порядка log?\ Только если д есть бесконечно большая величина порядка ^, то К будет величиной порядка i log?\ Тогда круг переходит в прямую. Напротив, величина равная ^, будет порядка i, и потому второй интеграл будет конечен и при
конечном р исчезает в сравнении с К 34). В этом случае Л в первом интеграле можно заменить постоянным /, и мы получаем:
д(отд2р _ к
dt 27xh
или
2ШЯ21 = 0- J^rt.
2irh
Так как ОТ и R постоянны, то изменяться пропорционально времени может только I. Если ОТ положительно, то движение жидких частиц на внешней сторон кольца направлено в сторону положительных г, на внутренней в сторону отрицательных г; К, h и R по своей природе всегда положительны. Отсюда следует, что в кольцеобразной нити с весьма малым поперечным сечением, находящейся в беспредельной массе жидкости, центр тяжести поперечного сечения движется параллельно оси вихревой нити с приблизительно постоянной и весьма большой скоростью, направленной в ту же сторону, в какую жидкость течет сквозь кольцо.
