Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
Далее я даю лишь набросок математической обработки одного случая противоположного характера, когда течение из широкого пространства переходит в узкий канал; цель моя дать пример применения метода, при помощи которого можно решить некоторые задачи в уче-
О прерывном движении жидкости
47
нии о потенциальных функциях, представляющие до сих пор затруднения 44).
Я ограничусь тем случаем, когда движение стационарно и зависит от двух прямоугольных координат х, у, и когда при этом в жидкости, свободной от трения с самого начала, не существует вращающихся частиц, следовательно, и с течением времени таковые появиться не могут. Обозначим для жидкой частицы, находящейся в точке (ж, у), компонент скорости параллельный оси х через и, а параллельный оси у через v, тогда, как известно, можно найти такие две функции от ж и у, что 45)
(1)
дф
и = 7— =
дх
дф
ду
дф ~ду5
дф дх'
Этими уравнениями непосредственно выполняются внутри жидкости условия, чтобы масса в каждом элемент пространства оставалась постоянной, а именно:
(1а)
ди
дх
dv
ду
д2ф
д^Р
д2ф д2ф д2ф &У2 ~ fa2 + Ъу2
= 0.
Обозначая потенциал внешних сил через V, мы найдем давление внутри при постоянной плотности h из уравнения:
(1*)
дф
дх
дф
дх
дф
ду
дф
ду
Кривые
суть линии тока
22)
ф = const
жидкости, а кривые
ф = const
48
О прерывном движении жидкости
ортогональны к ним. Последние суть кривые равного потенциала или равной температуры, если электричество или тепло течет стационарным током по проводникам с постоянной проводимостью.
Из уравнений (1) следует, как интегральное уравнение, что величина ф + ф1 есть функция х + уг (где г = л/^1. Найденные до сих пор решения выражают обыкновенно ф и ф, как суммы членов, которые сами суть функции от х и у. Но можно, наоборот, х + у г рассматривать, как функцию от х + фг и разыскивать решение в такой форме.
В задачах о течении между твердыми стенками ф вдоль границ постоянно, и если поэтому мы будем рассматривать фиф, как прямоугольные координаты на плоскости, то мы должны искать функцию x-\-yi в ограниченной двумя параллельными прямыми ф = со и ф = с\, полосе этой плоскости так, чтобы у края удовлетворялось уравнение стенки, а внутри получались данные прерывности 46).
Такой случай мы будем иметь, если положим:
(2) х + уг = А(ф + ф1 + е^+^г)
или
х = А ф + Ае^соъф,
у = А ф + Ае^Б'тф.
При значении ф ± 7Г, у становится постоянным и
х = Аф — Ае^.
Если ф изменяется в пределах от — оо до +оо, то х изменяется
одновременно от — оо до —А и затем опять до — оо. Кривые тока ф ± 7г
соответствуют, таким образом, течению вдоль двух прямых стенок, для которых у = =Ь^4.7г, а х изменяется между —оо и —А 47\
Таким образом, если рассматривать ф, как выражение кривых тока, то уравнение (2) соответствует течению из канала ограниченной двумя параллельными плоскостями в бесконечное пространство. На краю канала, где х = — А и у = ±А7г и где далее
Ф = О И Ф = ±7Г,
мы имеем:
О прерывном движении жидкости
49
и таким образом:
дф
дх
2
дф
ду
2
Электричество и теплота могут течь таким образом, капельная же жидкость должна разорваться.
Если от краев канала начинаются стационарные линии раздела, которые, конечно, будут продолжениями расположенных вдоль стенок линий тока гр = ±7г, а вне этих линий раздела, ограничивающих текущую жидкость, должен иметь место покой, то давление на обеих сторонах линии раздела должно быть одинаково. Это значит, что вдоль тех частей линии гр = ±7г, которые соответствуют свободным линиям раздела, мы должны иметь, согласно (lb):
Чтобы сохранить основные черты данного в уравнении (2) движения, прибавим к вышенаписанному выражению для х + у г еще один член сг + тг, который есть та же функция от ф + ярг, тогда имеем:
и должны определить сг + тг так, чтобы вдоль свободной части поверхности раздела гр = ±7г:
(3)
(За)
Это условие выполнится, если мы сделаем здесь
(36)
7^7 = 0 или сг = const. дф
и
(Зс)
= ±Ау/2еФ - е2Ф.
оф
Так как гр вдоль стенки постоянно, то мы можем интегрировать последнее уравнение по ф и найденный интеграл обратить в функцию
50
О прерывном движении жидкости
ф + грг, подставляя везде ф + г (?/; ± 7г) вместо ф. Таким образом, при надлежащем выборе постоянной интеграции 49) мы получим:
