Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
(3d)
+ тг = Ail \/-2еФ+^ - е2Ф+2^
— 2 arcsin
г о(<Н-^) — е2
V2
Точки разветвления этого выражения лежат при е^+^г = —2, т. е. при яр = ±(2а + 1)7Г и ф = log 2.
Таким образом, ни одна из них не лежит в пределах между гр = +7Г и гр = —7г. Функция сг + тг здесь непрерывна.
Вдоль стенки 50) будем иметь:
ст + тг = ±Аг < \/2е^ — е2(^ + 2 г
л
Если ф < log 2, то вся эта величина чисто мнимая, следовательно ст = 0, между тем ^ получает данное в (Зс) значение. Эта часть линий
гр = ±7Г соответствует таким образом свободной части струи.
Если ф > log 2, то все выражение становится действительным, за исключением слагаемого ±Аг7г, которое прибавляется к значению тг, т. е. уг.
Итак, уравнение (За) и (3d) соответствуют вытеканию жидкости из неограниченного сосуда в канал, ограниченный двумя плоскостями, ширина которого равна ААтт и сторона которого простирается от х = — ос до х = —А (2 — log2).
Свободная линия раздела текущей жидкости искривляется сначала от края отверстия в сторону положительных ж, где при ф = 0,
х = —а и у = ^7г + 1^, она достигает наибольшего значения х, по-
том направляется внутрь канала и наконец приближается асимптотически к обеим прямым у = =Ь^4.7г, так что в конце ширина вытекающей струи равняется ровно половине ширины канала 51).
Скорость вдоль поверхности раздела и на конце вытекающей струи
равна ^-г. Вдоль твердой стенки и внутри жидкости она везде мень-Л
Приложение, касающееся распределения электричества 51
ше так что эта форма движения может существовать при любой величине скорости вытекания.
В этом примере я обращаю особенное внимание на то, что форма течения жидкости в трубе на длинном пути определяется формой начала струи.
Приложение, касающееся распределения электричества
Если в уравнении (2) величину гр рассматривать, как электрический потенциал, то в предыдущем мы получаем распределение электричества вблизи краев двух плоских и весьма близких пластинок, допуская, что расстояние между ними можно считать исчезающе малым сравнительно с радиусом кривизны их краев. Таким образом мы имеем очень простое решение задачи, которую рассматривал Клаузиус12. При этом получается то же самое распределение электричества, какое было найдено и им, по крайней мере, поскольку дело касается зависимости этого распределения от кривизны краев Ъ2\
Прибавлю еще, что этим же методом можно определить распределение электричества на двух параллельных, бесконечно длинных плоских полосах, четыре края которых в поперечном сечении образуют вершины прямоугольника.
Потенциальная функция гр для такого распределения представится уравнением формы:
(4) I + „i = A(0 + W + B__i__,
где Н(и) представляет функцию, введенную Якоби в его Fundamenta nova, p. 172, как числитель sin am и. По принятому там обозначению, заряженные полосы соответствуют значению ф = ±2if, где х = ±2АК равно половине расстояния между полосами, а от отношения постоянных А и В зависит ширина полосы.
Форма уравнений (2) и (4) показывает, что ф и гр можно выразить как функции от ж и у лишь при помощи разложений в весьма сложные ряды.
12Poggendorff’s Annalen. Bd. LXXXVI.
Приложения
Заметки о жизни и трудах Гельмгольца
Герман фон Гельмгольц родился 31 августа 1821 г. в Потсдаме, где его отец был учителем гимназии; по окончании гимназии он стал изучать медицину в Берлинском военно-медицинском учебном заведении «Friedrich-Wilhelms Institut» и в 1842 г. сделался военным врачом в Потсдаме. Опубликованные им научные труды, в особенности появившаяся в 1847 году статья о сохранении энергии, открыли ему чисто научную карьеру. В 1848 г. он сделался ассистентом при анатомическом музее в Берлине и преподавателем анатомии в тамошней школе искусств, в 1849 г. профессором физиологии и общей патологии в Кенигсберге в Пруссии; в 1856 году он переселился в Бонн, а в 1858 г. занял кафедру физиологии в Гейдельберге. В 1871 г. он взял на себя после Магнуса профессуру физики в Берлине и наконец оставил ее, чтобы занять место председателя в «Physikalisch-technische Reichsanstalt». При этом он продолжал читать лекции в университете. Он умер 8 сентября 1894 года. Из внешних отличий, выпавших в изобилии на его долю, мы здесь упомянем лишь дарованное ему в 1883 г. потомственное дворянство.
Гельмгольц был не только один из ученых новейшего времени, отличавшихся своей разносторонностью и познаниями, он принадлежал к величайшим, наиболее глубоким исследователям всех времен, к тем, которые указывали науке новые пути. Решающее значение имела уже небольшая статья о сохранении энергии. С законом сохранения энергии была найдена связь, соединяющая между собой разнообразнейшие силы природы.
По опубликовании этой работы Гельмгольц снова обратился к исследованиям по физиологии. Из результатов его работ упомянем здесь только: измерение скорости распространения нервного раздражения, изобретение глазного зеркала, исследования по смешению цветов и цветовым ощущениям, обоснование теории возникновения пространственных представлений. Собрание его собственных работ, посвященных
