Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельмгольц Г. -> "Основы вихревой теории" -> 10

Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.

Гельмгольц Г. Основы вихревой теории — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 82 c.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка): osnoviverhovoyteorii2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 28 >> Следующая


и = 0, т. е. К — постоянно.

(6с)

ди _ dv _ д'Р _ ж/

dz dz dz dz
§5. Прямолинейные параллельные вихревые нити

31

Уравнения (2) принимают вид

а уравнение (3):

? = 0, , = 0, 2(=fs-g,

Следовательно, вихревые нити сохраняют постоянную скорость вращения, а потому также и постоянное поперечное сечение.

Уравнения (4) принимают вид:

u=dN v=dN ду 5 дх 5

d2N d?N_ = дх2 ду2 ^‘

Я положил здесь Р = 0 на основании замечания, сделанного мною в конце §3. Таким образом, уравнением линии течения 22) будет N = const.

Величина N в этом случае представляет потенциальную функцию бесконечно длинных линий; она сама бесконечно велика, но ее производные конечны 23). Если а и Ъ суть координаты вихревой нити, поперечное сечение которой равно da db, то

_ dN _ (da db x-a _ dN _ (dadb y-b V~ дх~ к r2 ’ U~ dy ~ * r2 ‘

Отсюда следует, что результирующая скорость q перпендикулярна к перпендикуляру г, опущенному на вихревую нить, и что

(da db У ~ 7ГГ '

Положим, что в массе, распростирающейся в бесконечность в направлениях х и у, мы имеем несколько вихревых нитей, координаты которых суть соответственно х\, yi, Х2, У2 ¦ ¦ ¦ • Если мы обозначим произведение скорости вращения на поперечное сечение каждой нити через mi, Ш2 и т. д. и образуем суммы

U = mi^i + ш2^2 + тзиз + и т. д.

V = m\V\ + m^v2 + 1TI3V3 + ...,
32

Об интегралах уравнений гидродинамики

то они будут равны нулю, потому что в сумме V часть, происходящая от действия второй вихревой нити на первую, уничтожается действием первой нити на вторую. Именно эти части будут

Ш2 Х\ — Х2 т\ Х2 — Х\

и ГГ^'2 ' ~7Т~ ^2 ’

то же самое будет и во всех других частях обеих сумм. Но теперь U представляет скорость центра тяжести масс mi, т2 .... в направлении ж, умноженную на сумму этих масс; то же значение имеет V относительно оси у. Обе скорости, следовательно, равны нулю,

если только сумма масс не равна нулю, в каком случае вообще не име-

ет места центр тяжести. Итак, центр тяжести вихревых нитей при их взаимном передвижении остается неизменным, и так как это положение справедливо для любого распределения вихревых нитей, то его можно применить и к отдельным вихревым нитям с бесконечно малым поперечным сечением.

Отсюда вытекают такие следствия:

1) Если мы имеем отдельную прямолинейную вихревую нить с бесконечно малым поперечным сечением в жидкой массе, распростирающейся в бесконечности во всех направлениях, перпендикулярных к нити, то движение жидких частиц, находящихся в конечном расстоянии от нити, зависит только от произведения ?dadb = т из угловой скорости на площадь поперечного сечения нити, а не от формы сечения. Частицы жидкой массы вращаются около нее с тангенциальной ско-

777 u

ростью —, где г представляет расстояние от центра тяжести вихревои нити. Таким образом, положение самого центра тяжести, скорость вращения, величина поперечного сечения, а следовательно, и величина т остаются неизменными, если даже форма бесконечно малого сечения и изменяется.

2) Если мы имеем две прямолинейные вихревые нити с бесконечно малым поперечным сечением в безграничной жидкой массе, то каждая из них относить другую в направлении, перпендикулярном к линии, их соединяющей. Расстояние их от этого не изменяется 24). Таким образом, обе нити будут вращаться около их общего центра тяжести, оставаясь на равном расстоянии друг от друга. Если скорость вращения в обеих вихревых нитях имеет то же направление, т. е. имеет одинаковые знаки, то центр тяжести должен лежать между ними.

Если же она в них направлена в противоположные стороны, т. е.
§6. Кольцеобразные вихревые нити

33

имеет обратные знаки, то центр тяжести будет лежать на продолжении линии, их соединяющей. И если произведение из скорости вращения на поперечное сечение для обеих нитей то же по величине, но противоположно по знаку, — когда центр тяжести лежал бы в бесконечности, — то они обе будут передвигаться с одинаковой скоростью в том же направлении, перпендикулярном к линии, их соединяющей.

К последнему случаю можно свести и тот, когда вихревая нить с бесконечно малым поперечным сечением находится около параллельной ей бесконечной плоскости. Граничное условие для движения воды у этой плоскости, состоящее в том, чтобы движение происходило параллельно плоскости, выполняется, если вообразить себе по ту сторону плоскости вторую вихревую нить, представляющую зеркальное изображение первой. Отсюда следует, что находящаяся в жидкой массе вихревая нить движется (поступательно) параллельно плоскости в направлении, в котором движутся жидкие частицы, находящейся между ней и плоскостью, н притом со скоростью равной четверти той скорости, которую имеет частица жидкости, лежащая в основании перпендикуляра, опущенного из вихревой нити на плоскость.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 28 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed