Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
Совершенно так же обстоит дело и с электромагнитными действиями замкнутого электрического тока. Последний оказывает такое же действие на расстоянии, как известное распределение магнитных масс по поверхности, ограниченной проводником. Поэтому, вне самого тока, силы, с которыми он действует на магнитную частицу, могут быть рассматриваемы как производные потенциальной функции V, удовлетворяющей уравнению:
| I — п
дх2 ду2 dz2
Но и здесь пространство, которое окружает замкнутый проводник тока и для которого это уравнение имеет силу, будет многосвязным, и функция V — многозначной.
Таким образом, при вихревых движениях жидкости так же, как и при электромагнитных действиях скорости или силы вне пространства, занятого вихревыми нитями или электрическими токами, зависят от многозначных потенциальных функций, удовлетворяющих общему дифференциальному уравнению для магнитных потенциальных функций; между тем внутри пространства, занятого вихревыми нитями или электрическими токами, на место потенциальных функций, которые
26
Об интегралах уравнений гидродинамики
сюда не распространяются, выступают другие функции, определяемые уравнениями (4), (5), (5а). Напротив, при движении жидкости в односвязном пространстве и магнитных силах мы имеем дело с однозначными потенциальными функциями так же, как при тяготении, электрических притяжениях и стационарных электрических и термических токах.
Те интегралы уравнений гидродинамики, при которых существует однозначный потенциал скоростей, мы можем назвать интегралами первого класса. Те же интегралы, при которых имеет место вращение некоторой части жидких частиц, и вследствие этого в области частиц, не находящихся во вращении, существует многозначный потенциал скоростей, мы назовем интегралами второго класса. В последнем случае иногда задача требует рассмотрения лишь тех частей пространства, которые не заключают в себе вращающихся частиц жидкости; например, при движении воды в кольцеобразных сосудах, можно представить себе, что вихревая нить проходит через ось сосуда; таким образом, эта задача принадлежит к числу тех, которые могут быть разрешены, при допущении потенциала скоростей. В гидродинамических интегралах первого класса скорости жидких частиц пропорциональны по величине и совпадают по направлению с силами, которые вызывало бы известное распределение магнитных масс вне жидкости, относительно магнитной частицы, помещенной на месте частицы этой жидкости.
В гидродинамических интегралах второго класса скорости жидких частиц пропорциональны по величине и совпадают по направлению с силами, происходящими от совместного действия на магнитную частицу, с одной стороны, замкнутых электрических токов, текущих по вихревым нитям с напряжением, пропорциональным скорости вращения этих вихревых нитей, и, с другой — магнитных масс, расположенных вне жидкости. Электрические токи перемещались бы внутри жидкости вместе с соответственными вихревыми нитями и сохраняли бы неизменное напряжение. Предполагаемое распределение магнитных масс вне жидкости или по ее границам должно быть определено таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия. Известно затем, что всякая магнитная масса может быть заменена также электрическими токами. Поэтому вместо того, чтобы в выражениях для и, v, и w прибавлять еще потенциальную функцию Р вне лежащей массы /с, можно получить столь же общее решение, если величинам вне жидкости или даже только на поверхности ее дать произвольные значения, но та-
§4. Вихревые поверхности и энергия вихревых нитей
27
кие, чтобы образовались лишь замкнутые токи8, и затем распространить интеграцию в уравнениях (5а) на все пространство, для которого ?, rj и С отличны от нуля.
§ 4. Вихревые поверхности и энергия вихревых нитей
В гидродинамических интегралах первого класса, как я выше показал, достаточно знать движение граничной поверхности. Этим движение внутри жидкости вполне определяется. Напротив того, в интегралах второго класса требуется определить еще движение имеющихся внутри жидкости вихревых нитей, принимая в расчет их взаимное влияние и граничные условия, вследствие чего задача значительно усложняется. Но для некоторых простых случаев все-таки возможно решить и эту задачу, именно для тех случаев, когда вращение жидких частиц происходит лишь на некоторых поверхностях или линиях, причем форма этих поверхностей и линий при передвижении остается неизменной.
Свойства поверхностей, к которым прилегает бесконечно тонкий слой вращающихся частиц жидкости, легко обнаружить из уравнений (5а). Если ?, г] и ? лишь в бесконечно тонком слое отличны от нуля, то по известным положениям потенциальные функции L, М и N будут иметь на обеих сторонах слоя одинаковые значения, а производные их, взятые в направлении нормали к слою, будут различны. Положим теперь, что оси координат выбраны так, чтобы в рассматриваемом месте вихревой поверхности ось г совпадала с нормалью к поверхности, а ось х с осью вращения жидких частиц на поверхности 18), так что в этом месте т] = С = 0 5 тогда потенциалы М и N, а также и их производные будут иметь одни и те же значения на обеих сторонах слоя; то же имеет место для
