Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
дф дф
ду
dz '
Обозначение в дальнейшем я буду всегда употреблять в том смысле, at
чтобы dt выражало изменение ф за время dt для одной и той же at
жидкой частицы, координаты которой в начале времени dt были ж, у, г.
Исключая из уравнений (1) дифференцированием величину р, вводя обозначения, подставляя значения из уравнений (2) и принимая, что силы X, У, Z удовлетворяют уравнениям (1а), получаем следующие три уравнения 9);
(3)
dfj — с ди . ди . > ди
dt ~^дх 1ду ^dz’
dy _ tdv , dv , fdv
dt ~^dx^Vdy ^dz’
d( _tdw , dw , fdw dt dx 1 dy ^ dz'
или же
(За)
d? _ pdu , dv , {dw dt ~^dx ^^dx
dy _ tdu ,
* ]dy ^ dy'
d( _ tdu , dv , dt ~^dz^Vdz^^ dz'
то и
Если для выбранной частицы ?,77, С одновременно равны нулю,
= dq = = 0
dt dt dt
§2. Постоянство вихревого движения 17
Таким образом, жидкие частицы, не находившиеся уже во вращательном движении, не придут в таковое и по истечении некоторого времени.
Как известно, вращательные движения можно складывать по методу параллелограмма сил. Если ?, 77, ? суть скорости вращения около координатных осей, то скорость вращения а 10) около мгновенной оси вращения есть
а = VC2 +V2 + С2,
а косинусы углов, которые образует эта ось с координатными осями, соответственно равны:
i 2 и ?
сг5 а а'
Если мы в направлении этой мгновенной оси вращения отложим бесконечно малый отрезок сге, то проекции его на оси координат будут соответственно равны ег] и е?. Если в точке ж, у, г компоненты
скорости суть и, v и w, то на другом конце отрезка а г они имеют ве-
личины:
и.=и + ефх+е^у+е С|,
Таким образом, по истечении времени dt проекции расстояния между обеими частицами, ограничивавшими в начале dt отрезок сг?, получат значения, которые на основании уравнений (3) можно выразить следующим образом:
+ (ui - u)dt = е(? + ^dt),
din
er) + (г>1 - v)dt = e(r] + ~^dt),
е( + (wi - w)dt = е(С + ~^dt).
Слева здесь стоят проекции отрезка а г в его новом положении, справа — умноженные на постоянный фактор г проекции новой скорости
18
Об интегралах уравнений гидродинамики
вращения; из этих уравнений следует, что линия, соединяющая две частицы, которые в начале времени dt ограничивали отрезок аг мгновенной оси вращения, и по истечении времени dt совпадает с изменившейся теперь осью вращения п).
Если линию, направление которой везде совпадает с направлением мгновенной оси вращения находящихся на ней жидких частиц, мы назовем, как уже раньше условились, вихревой линией, то мы можем только что полученный вывод формулировать так: всякая вихревая линия остается постоянно составленной из одних и тех же частиц жидкости и передвигается в жидкости вместе с ними.
Прямоугольные компоненты угловой скорости увеличиваются в том же отношении, как и проекции отрезка а г оси вращения; отсюда следует, что результирующая скорость вращения определенной жидкой частицы изменяется в таком же отношении, как расстояние этой частицы от соседних на оси вращения.
Вообразим себе, что через все точки контура бесконечно малой площади проведены вихревые линии; этим способом мы выделим жидкую нить с бесконечно малым поперечным сечением; будем называть ее вихревой нитью. Объем отрезка такой нити, ограниченного двумя определенными частицами, по только что доказанному остается все время наполненным одними и теми же частицами жидкости; при передвижении объем этот не изменяется 12\ и, следовательно, его поперечное сечение должно изменяться обратно пропорционально длине. Поэтому указанное выше положение можно формулировать и так: произведение скорости вращения на поперечное сечение в части вихревой нити, состоящей из одних и тех же частиц воды, остается постоянным при передвижении нити.
Из уравнений (2) непосредственно следует, что
д? , dv , (К = п
дх ду dz
откуда далее
///
дг) д(\
——Ь о—Ь ) dx dy dz = 0. ox oy ozy1
Это интегрирование может быть распространено на вполне произвольный объем S жидкой массы; проинтегрировав почленно, имеем
JJ ?dy dz + JJ rjdx dz + JJ
?dxdy = 0,
§2. Постоянство вихревого движения
19
причем интегрирование распространяется на всю поверхность объема S. Назовем через duo элемент площади этой поверхности и через а, /3, 7 — углы, которые образует внешняя нормаль к duo с осями координат 13); тогда
dy dz = cos aduo, dx dz = cos fiduo, dx dy = cos 7duo.
