Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
Возвратимся к нашей первой системе координат х, у, z и вообразим себе, что к рассмотренным движениям бесконечно малых масс жидкости, окружающих точку у, t), з, присоединяются еще вращательные движения около осей, параллельных осям ж, у, z и проходящих через точку у, t), 3. Если угловые скорости этих вращательных движений соответственно равны ?, 77, ?, то вносимые ими компоненты скорости, параллельные координатным осям ж, у, г, будут соответственно
Скорости частицы, координаты которой ж, у, z выразятся тогда следующим образом:
О,
(:У ~ »>)С,
О,
-(ж — у)С,
-{у- »>)?;
(;х - у)ту; 0.
и = А + а{х - у) + (7 + С)(У ~ t>) + (Р ~ v)(* ~ b), v = В + (7 - С)(х - у) + Ь(у - t>) + (а + ?)(z - 3), w = С + (/3 + т}){х - у) + (а - 0(У - tj) + Ф - З)-
Дифференцируя, получаем:
(2)
UU _ UV_ _
k ду дх~ ^
ди dv
14
Об интегралах уравнений гидродинамики
Таким образом, левые части уравнений, которые по уравнениям (1с) должны равняться нулю, раз существует потенциал скоростей, равны удвоенным скоростям вращения соответственных жидких частиц около трех координатных осей. Следовательно, существование потенциала скоростей исключает возможность существования вращательного движения жидких частиц.
Как дальнейшую характерную особенность движения жидкости с потенциалом скоростей, нужно привести здесь то, что в пространстве 5, ограниченном неподвижными стенками, совершенно заполненном жидкостью и односвязном, такого движения существовать не может. В самом деле, если мы через п обозначим направленную внутрь нормаль к поверхности такого пространства, то перпендикулярные
дф ^ к стенкам компоненты скорости — везде должны быть равны нулю.
Тогда по известной теореме6 Грина 6);
///[©¦*(*)’•(»¦] ***-к-
где слева интеграция должна быть распространена на все пространство 5, а справа на граничную поверхность, элемент площади которой
обозначен duo. Если теперь ^ на всей поверхности равно нулю, то и интеграл в левой части должен равняться нулю, что возможно лишь в том случае, когда во всем пространстве S
дф_дф_дф_
&с = fry = ~d~z = ’
т. е. если совсем не происходит никакого движения жидкости. Таким образом, всякое движение ограниченной жидкой массы в односвязном пространстве, обладающее потенциалом скоростей, необходимо связано с движением поверхности жидкости. Если это движение поверхности, дф
т. е. —, вполне нам дано, то тем самым однозначно определено и движение всей заключенной внутри нее массы жидкости. В самом деле,
6Уже упоминавшаяся выше теорема в Crelle’s Journal, Bd. XLIV. S. 360, не распространяющаяся на многосвязные пространства.
§2. Постоянство вихревого движения
15
если бы существовали функции ф' и ф", которые одновременно удовлетворяли бы внутри пространства S уравнению:
д2ф д2ф д2ф = dx2 ду2 dz2 ’
и на поверхности условию: ^ = ф, где ф обозначает величины
обусловленные движением поверхности, то и функция (ф' — 0") удовлетворяла бы первому уравнению внутри пространства 5, на поверхности же было бы
д(Ф'~Ф") .
отсюда следовало бы, как уже было показано выше, что внутри пространства S
д(ф' - Ф") д(ф1 - ф") д(ф' - Ф")
дх ду dz
Таким образом, обеим функциям соответствовали бы совершенно те же скорости и внутри всего пространства S.
Таким образом, только в том случае, когда не существует потенциала скоростей, возможны вращения жидких частиц; лишь в этом случай линии тока могут замыкаться внутри односвязного вполне замкнутого пространства. Мы можем поэтому движения, не обладающие потенциалом скоростей, вообще характеризовать как вихревые 7\
§ 2. Постоянство вихревого движения
Прежде всего определим, как изменяются скорости вращения ?, 77, С во время движения, если действуют только силы, допускающие потенциал сил. Замечу, во-первых, вообще, что если ф есть функция ж, у, г и t и возрастает на дф, при возрастании этих четырех величин на dx, dy, dz и dt, то
7 дф дф дф дф dф = —dt + — dx + -x-dy + -^-dz. dt дх dy dz
Если мы теперь желаем определить изменение ф за элемент времени d для некоторой определенной частицы жидкости, то величинам
16
Об интегралах уравнений гидродинамики
dx, dy и dz нужно дать те значения, которые они имеют для движущейся частицы, а именно:
dx = udt, dy = vdt, dz = wdt,
получаем
dip дф дф
dt dt U dx
