Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Определение вращения
Пусть внутри капельной жидкости в точке, определяемой прямоугольными координатами ж, у, z для времени ?, давление равно р; компоненты скорости, параллельные трем координатным осям, суть и, v, W] компоненты внешних сил, действующих на единицу жидкой массы X, У, Z, и плотность, изменения которой мы принимаем исчезающе малыми, равна h\ тогда для точек 3) внутри жидкости, как известно, имеют место такие уравнения движения:
v 1 др ди , „ ди , ди , „ ди
x-h--^=m+ud^ + vdi + w^ Y-±.?P = dv+u^ + v^+ w^
h ду dt дх ду dz ’
(1)
7—1. — — h' dz~ dt
П _ du , dv_ , dw
^ n I I ¦
ox oy oz
dw , dw
dx
dy
w
dw dz’
До сих пор рассматривали почти исключительно такие случаи, где не только силы X, У, Z имеют потенциал V, так что могут быть представлены в форме:
(1а)
у =dv y=9V 7=dv дх’ ду’ dz’
но где, кроме того, можно найти и потенциал скоростей 1) ф, так что
дф дф дф (1Ь) и=Ш’ v = w w = Tz-
Этим задача значительно упрощается, так как три первых уравнения (1) дают одно общее интегральное уравнение, из которого можно
§ 1. Определение вращения
11
найти р, определив предварительно ф из четвертого уравнения, которое в данном случае принимает вид:
<р± ,&Ф =п
дх2 ду2 dz2
и таким образом совпадает с известным дифференциальным уравнением для потенциала магнитных масс, помещающихся вне пространства, для которого должно иметь место это уравнение. Известно также, что всякая функция 0, удовлетворяющая этому дифференциальному уравнению внутри односвязного5 пространства, может быть представлена, как потенциал известного распределения магнитных масс на его границах, как я об этом упоминал уже во введении. Для того чтобы подстановки, указанные уравнением (16), имели место, необходимо, чтобы:
(л Л dv п dv dw _ n dw_ ди п
[ } ду дх ~ ’ dz ду ~ ’ дх dz ~
Чтобы уяснить себе механический смысл этих трех условий, мы можем представить себе, что изменение, которое претерпевает бесконечно малый объем жидкости в элемент времени dt, слагается из трех различных движений: 1) перемещения жидкой частицы в пространстве; 2) растяжения или сжатия частицы по трем главным направлениям растяжения, причем всякий прямоугольный параллелепипед жидкости, стороны которого параллельны главным направлениям растяжения, остается прямоугольным, так что стороны его хотя и изменяются по длине, но тем не менее остаются параллельными прежним направлениям; 3) из поворота около произвольно направленной мгновенной оси вращения, причем этот поворот по известной теореме всегда можно рассматривать, как результат сложения трех поворотов около осей координат 5).
Положим, что для точки с координатами ?, t) и 3 выполнены условия (1с); обозначим значения и, v и w и их производные в этой точке
5В многосвязных пространствах ф может сделаться многозначной, а для многозначных функций, удовлетворяющих указанному дифференциальному уравнению, основной закон теории электричества Green’a (Crelle’s Journal, Bd. XLIV. S. 360) не имеет силы, а, следовательно, не имеет места и большая часть вытекающих из нее положений, выведенных Gauss’oM и Green’oM 4) для магнитных потенциальных функций, которые по своей природе всегда однозначны.
ди = а, dw _ dv = OL,
дх ду dz
dv = ь, ди _ dw_
ду dz dx
dw = с, dv _ dv_ = 7-
dz dx dx
12 Об интегралах уравнений гидродинамики
следующим образом:
и = А,
и = В,
и = С,
Для точек, координаты которых х, у и z бесконечно мало отличаются от ?, t) и з, мы получим:
и = А + а(х - у) + 'У(у — tj) + 0{z - 3), v = В + 7(ж — у) + b(y - I)) + a(z - 3), ад = С + 0(х - р) + а(у - tj) + c(z - 3),
или, положив:
ф = А(х - ?) + В (у - Г)) + C(z - 3)+
+ -^а(х — у)2 + ^b(y — t))2 + 7}c(z — з)2+
+а(у ~t))(z~3)+ Р{х - ?)(z - 3) + 7(х - ?)(у - t)),
имеем
дф дф дф U=~di' V=~dy' W = ~d~z'
Известно, что надлежащим выбором направления прямоугольных координат х\, у\ и z\ с началом в точке (у, I), 3) можно выражение для ф привести к такому виду:
ф = Ajxj + Biyi + C\z\ + |a ix\ + i?\y\ + if\z\\
разложенные по этим новым осям координат скорости u\, v\ и w\ получают значения:
ui = Ai + aixi, vi = Bi + biyi, wi = Ci+ c\Z\.
Таким образом скорость u\, параллельная оси х\, одна и та же для всех жидких частиц, для которых х\ имеет одну и ту же величину; иначе,
§ 1. Определение вращения
13
частицы, лежавшие в начале элемента времени dt в плоскости, параллельной плоскости i/i 2i, находятся в такой же и в конце элемента времени dt. То же самое справедливо и для плоскостей х\у\ и x\Z\. Таким образом, если мы вообразим себе параллелепипед, ограниченный тремя плоскостями, параллельными трем упомянутым координатным плоскостям и бесконечно близкими к ним, то заключающиеся в нем жидкие частицы и по истечении элемента времени dt образуют прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны тем же координатным плоскостям. Все движения такого бесконечно малого параллелепипеда при условии (1с) слагается таким образом лишь из поступательного передвижения в пространстве и из растяжения или сжатия его ребер; вращательного же движения в этом случае совершенно нет.
