Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
так что
J m - PL3v(s) + P(yL2 + L3)[j - y2L, - y(l - />)L2 - (1 - />)L3 x [yZ2 + (1 - 7»)Z3]v(j) + v(0).
(6.5.69)
Поскольку L2 умножается на 7, a L3 нет, в пределе для больших у мы имеем
j«(j) = (PL3 - PL2L/L2)v(s) + v(0)
(6.5.70)
В данном случае мы не будем предполагать, что существует возможность нормировки автокорреляционной функции на константу. Член
— PL2Lx~ xL2 дает
Ь(х, т) Ь(х, т) J dt(aT(t)aT(0)y ,
ОХ ОХ О
(6.5.71)
где под «ДО мы понимаем случайную переменную, уравнение Фоккера — Планка для которой имеет вид
1 д2
др dt
(6.5.72)
Приближенные методы для диффузионных процессов 273
Таким образом, в пределе у — оо случайное движение оказывается бесконечно более быстрым, чем движение, обусловленное временной зависимостью а, происходящей из-за зависимости Л и Я от времени. Определив
D(т) = J dt(az(t)ar(Q)) , (6.5.73)
о
и исключая, как раньше, т, получаем
др
dt
^.D + D^-bix.D^bU,,)
р ¦
(6.5.74)
6.6. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ БЫСТРЫХ ПЕРЕМЕННЫХ: ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим теперь общий случай двух переменных х и а, которые связаны между собой таким образом, что изменение одной из них влечет изменение другой и наоборот. Эта задача аналогична выводу уравнения Смолуховского в случае, когда V' (х) не обращается в нуль, в то время как предыдущий раздел был посвящен обобщению этого уравнения на случай, когда V' (х) = 0.
В наиболее общем виде эта задача настолько сложна, что сколько-нибудь вразумительно изложить ее решение невозможно. Для того чтобы познакомиться с подходами к этой проблеме, рассмотрим пример линейной химической системы, а затем обобщим его.
6.6.1 ПРИМЕР: ИСКЛЮЧЕНИЕ КОРОТКОЖИВУЩИХ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПРОДУКТОВ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ
Рассмотрим пример химической реакции
}’ к
X Y А > (6.6.1)
к у
в которой количества веществ X и Y изменяются, а количество вещества А каким-то образом поддерживается постоянным. Детерминистические уравнения скорости реакции для этой системы имеют вид
274 Глава 6
Здесь через х, у, а обозначены концентрации веществ X, У, А. Константы скорости для простоты подобраны так, что к = 1.
В реальных процессах У нередко оказывается короткоживущим промежуточным соединением, которое быстро (с постоянной времени 7-!) превращается в А или в X. Интерес поэтому представляет предел больших 7, когда время существования короткоживущего вещества У все более сокращается, а его концентрация становится пренебрежимо малой. Тогда в (6.6.26) dy/dt - 0, и
Подставляя это выражение в (6.6.2а), получаем
В стохастическом случае ситуация осложняется тем, что источники белого шума, которые следует ввести в (6.6.2), коррелированы, и стационарное распределение у зависит от у. Говоря точнее, в качестве стохастических аналогов (6.6.2) обычно используются уравнения (см. разд. 7.6.1)
Здесь е — параметр, который определяется как величина, обратная корню квадратному из объема реагирующей системы. Обычно этот параметр мал, хотя в дальнейшем этот факт нам не понадобится.
Мы хотим исключить переменную у, среднее значение которой дается выражением (6.6.3) и становится в пределе исчезающе малым. Развиваемые нами идеи можно применить лишь в том случае, когда исключаемая переменная в стационарном состоянии имеет не зависящую от 7 функцию распределения. Таким образом, нам придется определить новую переменную, обладающую этим свойством, как функцию х и у.
Уравнение Фоккера — Планка, соответствующее (6.6.5), имеет вид
у = (х + а)!2у •
(6.6.3)
dx = (—х + yy)dt + eBudWi{t) + eBl2dfV2(t) dy = (—2 yy + x + d)dt + eB^dW^t) + ?B22dW2(t), где матрица В удовлетворяет условию
(6.6.5)
(6.6.6) •
(6.6.7)
Приближенные методы для диффузионных процессов 275
Рационально, по-видимому, определить новую переменную z как
z = 2уу — х — а (6.6.8)
(т. е. пропорционально разности между текущим и стационарным значением 7). Таким образом, мы формально определяем пару новых переменных (*,, z) соотношениями
Х\ = X X — Хх
z = 2уу — х — а у = (z + хг + a)j2y ,
так что мы можем преобразовать УФП с использованием
д д о
дх дхх dz
Э_ д_ dv 7 dz
(6.6.9)
(6.6.10)
и получить
др _ Г_Э_ Гх, — а __ dt дхх [ 2
+ | (2yz - Х-
i] + AaTi + a|k,-2A’--4,A)
^ + 4) + (8е2’/2а + ега + 4уега)
2 21 oz2
(6.6.11)
Предел 7 — 00 еще не дает нам оператор Фоккера — Планка относительно z, который просто пропорционален фиксированному оператору: мы видим, что вклады от сноса и диффузии для z пропорциональны соответственно у и у2.
Однако подстановка
a = zy~1/2 (6.6.12)
