Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
а = е’а ,
то существуют следующие возможности:
г > 1/2: «тихое подчинение», предельное уравнение (6.6.55);
г — 1/2: «шумное подчинение», предельное уравнение (6.6.62);
г < 1/2: член PLjLf XL2 пропорционален е2г_| — оо и становится
основным.
При г < 1/2 уравнение принимает асимптотический вид др 2Г-1-2 D2 (д д
— — pir 1П1 - I-- Г -
дт
(6.6.63)
Все эти ситуации можно, впрочем, описать одной общей формулой
Р . (6.6.64)
др
dz
д / , л зч 92 _ , 2,_, „2 D2 д д
Гх(х + Ах) + ^в + ? а ъ?ГкхГхх
Применяя методы адиабатического исключения, следует обращать особое внимание на то, чтобы были учтены верные зависимости всех констант системы от малых параметров.
Приближенные методы для диффузионных процессов 283
6.6.3 АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ БЫСТРЫХ ПЕРЕМЕННЫХ: НЕЛИНЕЙНЫЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим теперь общий случай двух переменных х и а, которые взаимно влияют друг на друга, но временной масштаб для а гораздо меньше, чем для х.
Пусть система описывается парой стохастических дифференциальных уравнений
Если мы будем слепо следовать схеме, изложенной в разд. 6.4, то сразу же попадем в затруднительное положение. Действительно, в этом пределе следовало бы принять
на том основании, что для больших у (6.6.66) всегда таково, что у~2da/dt = 0. Но тогда, разрешая (6.6.67) для а через х, мы получим некоторую сложную нелинейную функцию от х и dW2{t)/dt, разобраться с которой невозможно. Если, однако, В(а) равно нулю, то мы можем определить и0(х) через
Но на базе наших прежних рассуждений мы разработаем несколько более совершенную процедуру, которая позволит учесть влияние флуктуаций в (6.6.66).
Уравнение Фоккера — Планка, эквивалентное (6.6.65, 66), имеет
вид
dx = [а(х) + b(x)a]dt + c(x)dWx(t), da = у2[А(а) - f(x)]dt + yV2B(a) dW2{t).
(6.6.66)
(6.6.65)
(6.6.67)
A[u0{x)\ - f(x)
и, подставив это в (6.6.65), получить dx = [a(jt) + b(x)ua(x)]dt + c{x)dWl{t).
(6.6.69)
(6.6.68)
— (y2Li + L2 + L3)p ,
(6.6.70)
где
L^tlf(x)-A(a)] + ^B(a)
(6.6.71)
a L2 и L2 выбираются так, чтобы удовлетворялось условие PLyP = 0.
284 Глава 6
Во-первых, как обычно, Р определяется как проектор в нуль-пространство Z.,. Стационарное решениерх(а), т. е. решение уравнения
?i Рх(а) = 0 (6.6.72)
мы записываем так, чтобы оно явно зависело от х, поскольку явная зависимость отл' входит в Z., через функцию f(x). Проектор Р определяется как
(PF) (х, а) = рх(а) J da' F(x, а') (6.6.73)
для всякой функции F(x, а).
Определим теперь функцию и (х) через
и(х) = J da арх(а) = (а)х , (6.6.74)
а затем
Ь2= - ~ Ь(х)[а - и(х)] (6.6.75)
Li = ~ ^ [а{х) + Ь{х)и{х)] + у ~ [с{х)]г, (6.6.76)
так что член \д/дх] Ь(х)и(х) при сложении уничтожается. Таким образом, уравнение (6.6.70) является корректным УФП, соответствующим СДУ (6.6.65, 66).
Имеем теперь
PL2PF = — рх(а) J da' ^ {Ъ{х)[а — и{х)\}рх{а) J da" F(x, а") (6.6.77)
= 0
J apx(a)da = и(х) ,
поскольку \apx(a)da - и(х).
Разумеется, справедливо
PLX = LXP = 0 , (6.6.78)
но
РЦФЦР. (6.6.79)
Теперь мы можем перейти к обычной процедуре. Записывая, как обычно,
Приближенные методы лля диффузионных процессов 285
и считая и'(0) = 0, находим
sv(s) = P(L2 -f L3)iv(s) + PLjv(s) + v(0)
s w(s) = [y2Lt + (1 - P)L2 + (1 - P)L3]iv(.v) + L2v(s) + (1 - P)L3v(s)>(6.6.8l) откуда
s v(s) = PL3v(s) + P{L2 + Z.3)[.y — y2L{ — (1 — P)L2 — (1 — P)L3]~l
x [L2 + (1 - Р)^]^) + i;(0). (6.6.82)
С точностью до второго порядка включительно мы имеем просто
sv(s) ~ {(РЦ - y~2P{L2 !- L3)L;'[L2 + (I - P)L3]}i?(j) f i>(0).
(6.6.83)
Наиболее важен член PL3v(sy, он определяет результат адиабатического исключения в детерминистическом случае. Записывая
v(t) = рх(а)р(х) ,
находим
PL3v(t) = Р,(а) f da [а(х) + Ь(х)и(х)] + у А [с(.у)2]
а поскольку J da рх{а) = 1 ,то
Р L3v(t) = рх(а)
~ [я(лг) + й(х)и(лс)] + у ~2 [c(.y)2;
РЛ<*Жх), (6.6.84)
р(х) ¦
(6.6.85)
Таким образом, с точностью до низшего порядка дифференциальное уравнение имеет вид
дРд? = - М-*) + Ь(х)и(х)]р(х) + у |^2 с(х)2р{х)
(6.6.86)
и эквивалентно стохастическому дифференциальному уравнению
