Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
W(x\x', г) = /+(х')<5„,+1 +¦ t~(x')Sx,x>-1 ¦ (7.1.1)
Таким образом, имеют место два процесса:
х — х + 1: f+(x) = вероятность перехода в единицу времени, (7.1.2)
х — х - 1: f_(x) = вероятность перехода в единицу времени. (7.1.3)
Общее управляющее уравнение (3.5.5) тогда принимает вид
д,Р{х, t\x‘, О = t+(x - \)Р(х - \, t\x', f) + Г(* + 1 )Р(х + 1 ,t\x', t')
-[t+{x) + t-{x)}P(x,t\x',t'). (7.1.4)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 293
Единого способа решения этого уравнения не существует, за исключением случая, когда отсутствует зависимость от времени.
7.1.1. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
Уравнения для стационарного решения Ps(x) можно записать в виде
О = J(x + 1) — J(x), (7.1.5)
где
J(x) = r(x)P,(x) - t+(x - 1 )P,(x - 1). (7.1.6)
Воспользуемся тем, что ^-неотрицательное целое число; у нас не может быть отрицательного числа особей и поэтому
1) ^"(0) = 0 (если число особей равно нулю,
то вероятность гибели равна нулю) (7.1.7)
2) Р(х, t\x', t') = 0 для* < 0 или х' < 0. (7.1.8)
Это означает, что
У(0) = г(0)Р.(0) - t+(-l)P,(-\) = 0 . (7.1.9)
Просуммируем (7.1.5) и получим
0 = 2 [У (z + 1) - J(z)] = J(x) - J(Q). (7.1.10)
2 = 0
Следовательно,
J(x) = 0 , (7.1.11)
и тогда
откуда
* г+(’ — 1)
РЛХ) гм \\
; 1 ‘
(7.1.13)
а) Интерпретация в терминах детального баланса
Условие J (х) = 0 можно рассматривать как требование детального баланса, причем х — четная переменная. Действительно, это условие является вариантом (5.3.74), которое здесь принимает вид
Р(х, г\х', 0)Р,(х') = P(x\r\x,0)Ps(x). (7.1.14)
294 Г лава 7
Подставляя х' = х ± 1 и переходя к пределу т — 0, а также заметив, что в силу определения (3.4.1)
W(x\х', t) = lim Р(х, t + х\х\ t)jx , (7.1.15)
т-0
легко доказываем необходимость указанного условия /(х) = 0. б) Уравнения для скорости изменения средних
Заметим, что среднее значение х удовлетворяет равенству
д,(х(ф =д,±хР(х,1\х',0 (7.1.16)
л=0
= ?] x[t+(x -l)P(x - 1, tlx', t') - t+(x)P(x,t\x', t')]
JC = 0
+ f] x[r(x+ \)P(x+ [,t\x',t')- r(x)P(x+ \,t\x’,t')] (7.1.17)
x—0
= ? [(JC + l)?+(x) - xt+(x) + (x~ 1 )t-(x)
x = 0
— д:Г‘(х)]Р(х, t\x\ tr), (7.1.18)
т. e.
~ <x(t)> = <f+[x(f)]> - <rlx(t)]> .
(7.1.19)
Соответствующим детерминистическим уравнением будет уравнение, полученное в пренебрежении флуктуациями:
- = t+(x) - t~(x). (7.1.20)
Заметим, что в детерминистическом случае стационарное состояние
возникает, когда
t+(x) = t~(x). (7.1.21)
В соответствии с этим обратим внимание, что максимальное значение
Ps(x) достигается, когда
Ps(x)!Ps(x - 1) = 1 , (7.1.22)
что с учетом (7.1.12) отвечает случаю
t+(x - 1) = г(х) ¦ (7.1.23)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 295
Поскольку переменная х принимает только целочисленные значения, для достаточно больших х выражения (7.1.21) и (7.1.23) практически тождественны.
Таким образом, модальное значение х (при котором вероятность максимальна), соответствующее равенству (7.1.23), является стационарным стохастическим аналогом детерминированного стационарного состояния, которое соответствует (7.1.21).
7.1.2. ПРИМЕР: ХИМИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ А' ^ А
к\
Рассмотрим реакцию X ^ А, предполагая концентрацию вешества А
к2
постоянной. Иначе говоря, мы считаем, что
t+(x) = k2a (7.1.24)
t~(x) = кхх , (7.1.25)
так что управляющее уравнение принимает простой вид д,Р(х, О = к2аР(х — 1, 0 + кг(х + l)P(x +1,0 — (кхх + к2а)Р(х, t), (7.1.26)
где для краткости мы пишем Р(х, t) вместо Р(х, t\x', t').
а) Производящая функция
Для решения этого уравнения введем производящую функцию (ср. разд. 1.4.1, 3.8.2)
GC*, 0 = 2 sxP(x, О ,
х=0
так что
d,G(s, О = k2a(s — 1)G(.?, t) — kt(s — l)dsG(s, t).
Если подставить ф(з, t) = G(s, t) exp (—k2as/kt), выражение (7.1.28) принимает вид d,$(s, t) = — ki(s — Odj(?(j, 0 • Дальнейшая подстановка s — 1 = ег,
$5, t) = 0
(7.1.27)
(7.1.28)
(7.1.29)
