Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
при и > 0 у = а является выходной границей,
при и < 0 v = а является входной границей,
поскольку частица с и > 0 в точке у = а должна перейти в область у > а или поглотиться. Частицы, находящиеся слева от границы, при
и < 0 не могут попасть в точку у — а. Тип границы у = а можно
определить следующим образом:
Приближенные методы для диффузионных процессов 259
1) Поглощающая граница: при и > 0 частица поглощается, при и < О частиц нет —
=5>р(и, a, t) = 0 и > 0 (6.4.82)
= 0 и < 0 ¦
Первое из этих условий является обычным условием для поглощающей границы, сформулированным в разд. 5.2.1. Второе же отражает тот факт, что всякая частица, помещенная с и < 0 в точку у — а, немедленно переходит в областью < а и другие частицы не появляются. Очевидно, поглощающее граничное условие подразумевает, что
р(а, t) — 0, (6.4.83)
т. е. обычное поглощающее граничное условие для уравнения Фоккера — Планка для одной переменной.
2) Отражающая граница: с физической точки зрения отражение в точке у = а означает, что частица, достигшая точки у — а со скоростью и, немедленно начинает двигаться с другой, противоположной по знаку скоростью. Если допустить, что
то мы имеем дело с «периодическим граничным условием» (см. разд. 5.2.1 и 5.3.2). Это означает, что
р(и, a, t) = р(-и, a, t), (6.4.84)
и что нормальная компонента тока, выходящего из (и, а), равна нормальной составляющей тока, входящего в (— и, а). Однако, поскольку для этого уравнения
-up, [yu + U'{у)] Р +
(6.4.85)
и нормальной компонентой является компонента, направленная по оси .у, мы видим, что соотношения (6.4.84) и (6.4.85) эквивалентны.
Это граничное условие естественным образом ведет к граничному условию для уравнения Смолуховского.
Действительно, из (6.4.84) следует, что в разложение для/>(и, a, t) могут входить собственные функции Р„(и) только четных порядков. Следовательно,
(1 — Р)р{и, a, t) — w{u, a, t) (6.4.86)
содержит только четные собственные функции, и то же самое относится к преобразованию Лапласа w(w, a, s). Однако из (6.4.50) мы ви-
260 Г лава 6
дим, что с точностью до низшего порядка по у 1
w(u, a, s) гг (—у~'L~lL2v)(u, а, j) , (6.4.87)
и с учетом (6.4.63)
дрЬ'У
- Л(и)у-
иЬЖу) + ду
(6.4.88)
Поскольку в это выражение входит как сомножитель нечетная собственная функция Р{(и), оно обращается в нуль. Таким образом, мы получаем
0, (6.4.89)
и это выражение является корректной формулировкой отражающего граничного условия для уравнения Смолуховского.
Аналогичным путем нетрудно показать, что такие же граничные условия могут быть получены для уравнений, выведенных в разд. 6.4.3.
6.4.5. СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В РАМКАХ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Вернемся теперь к (6.4.47), вновь приняв для простоты w(0) = 0. Тогда
w(s) = [s- yL, - (1 - P)L2rlL2v{s) (6.4.90)'
и
s
v(s) = PL2[s - yLi - (1 - P)L2]~lL2v(s) + v(0) . (6.4.91)
Выражение [. . ,]-1 в (6.4.91) мы можем сразу разложить по степеням у. Нужно, однако, определить порядок величины 5 в этом разложении. Из предшествующих разделов мы знаем, что существует возможность определить
s1 = ¦УУ-1 > v — у~Н’, (6.4.92)
что приводит к разложению, в котором явно будет представлено начальное поведение, т. е. поведение на временах порядка 7-1.
Можно, наоборот, определить
s2 = sy, v -~yv, (6.4.93)
и тогда мы получим разложение, в котором проявляется только долговременная зависимость.
Приближенные методы для диффузионных процессов 261
После подстановки (6.4.93) выражение (6.4.91) принимает вид
s2v = -РЦЦ + (I - P)L2y- s2y~2]-'L2v + «(0), (6.4.94)
и мы можем теперь записать
s2v = — PL2Lj'L2v + г>(0) (у —- со), (6.4.95)
в то время как без этой подстановки в пределе 7 — 00 мы получим
просто
sv = г>(0) . (6.4.96)
Это согласуется с (6.4.52), где мы на самом деле не переходили к
пределу -у — оо.
' '1
Подстановкам, = sy 1
Slv = y~2PL2[st - L, - (1 - P)L2y-l]L2v(s) + v(0) (6.4.97)
не имеет правильного предела при -у — оо. Однако она дает разложение, аналогичное обычному для теории возмущений, и, как мы виде-
ли, показывает поведение при малых временах.
а) Теория возмущений для больших времен
Выражение (6.4.94) можно представить с точностью до у~2 в виде s2v = [А + Ву~1 + (С + Ds2)y~2]v + г>(0) , (6.4.98)