Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 101

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 185 >> Следующая


dx - [«(л) 4- b{x)u(x)]clt ~ c(x)dW(t) .

(6.6.87)

В этом порядке уравнение движения не содержит флуктуационного члена, который происходил бы из уравнения для а. Тем не менее результат полного пренебрежения флуктуациями дается уравнением

(6.6.69), которое очень похоже на (6.6.87), но содержит и0(х) вместо и(х). Можно было бы предположить, что среднее значение а в стационарном состоянии будет соответствовать и0(х), но это не так: в дей-
286 Глава 6

ствительности они имеют близкие значения лишь в случае, когда шумовой член В (а) мал.

Поправки второго порядка

Уравнение (6.6.83) можно оценить до порядка у~2. На первый взгляд наличие вторых производных в L3 указывает на то, что должны появиться производные четвертого порядка, поскольку L3 встречается дважды. Мы продемонстрируем, однако, что члены четвертого порядка исчезают.

Рассмотрим выражение

P(L2 + L3)L/[L2 + (1 - P)L3]v(s) • (6.6.88)

Как известно,

1) Pv(s) = v(s)

2) (1 - P)L2Pv(s) = L2Pv(s)

(6.6.89)

(мы пользуемся тем, что PL^P = 0).

С учетом этого (6.6.88) принимает вид

P(L2 + L3)L~X\ 1 - P){L2 + L3)Pv(s) = P[PL2 + [P, L3] + L3P}

X (1 - P)Lj'( 1 - P){L2P + [L„ P] + PL3}v(s) , (6.6.90)

где коммутатор [А, В] по определению равен

[А, В] = АВ - ВА . (6.6.91)

Мы учли, что L\X коммутирует с (1 — Р), и воспользовались тем, что (1 - р)2 = (1 - Р), для того чтобы в (6.6.90) поставить еще раз (1 — Р) перед LfМы также поставили Р перед всем выражением, поскольку Р2 — Р. С использованием равенства

Р(1 _/>) = (! _ р)р = о

выражение (6.6.90) принимает вид

Р {PL2 + [Р, L3)} Ц' (1 - Р) [L2 + [L3, />]} i;(j). (6.6.92)

Вычислим теперь [Р, L3]:

(PL3f)(x, а) = рх(а)

А [а{х) + Ь{х)и{х)\

Т ix2 /Я*’ а'} da' (6.6.93)
Приближенные методы для диффузионных процессов 287

И

(L3P)f(x, а) =

~ ^.Ых) + Ь(х)и(х)]

+ J-

рх(a) J da'f(x, а') . (6.6.94)

Вычтя эти выражения и определив

г» = д?^/рЛ«) (6-6-95)

sAa) = dl^lpJa), (6.6.96)

находим

([Р, L3]f) (х, а) = rx(a)[a(x) + b(x)u(x)]Pf(x, а)

- \sAa)c{xfPf(x, а) - rx(a)P^ [dxffix, «)] . (6.6.97)

Последний член здесь можно еще упростить, поскольку нас интересует лишь случай, когда f{x, а) это v, т. е.

Дх, а) = рх{а)р(х). (6.6.98)

Тогда

Р ~ с(хУрх{а)р{х) (6.6.99)

О х

= рх{а) ~ c{xf J da рх{а')р{х) (6.6.100)

= рх{а) ~ с(х)1р{х) . (6.6.101)

Далее, можно показать, что

Р[Р,Ьг]^0. (6.6.102)

Действительно, поскольку

\daPx(a)=\, (6.6.10?)

имеем

J da rx(a)px{a) = \ da sx{a)px{a) = 0 ,

(6.6.104)
288 Г лава 6

что доказывает справедливость (6.6.102). Таким образом, мы можем записать (6.6.92) в виде

PL2Lt! {L2 + [L3, P]}v(s), (6.6.105)

где

[L3, -Р№) = pja) {rx(a)[a(x) + b(x)u(x)] — ^sja)c(x)2} p(x)

+ Px(a)rja) ~ [c(x)2p(x)] . (6.6.106)

6.6.4. ПРИМЕР С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ Рассмотрим пару уравнений

dx = yb{x)adt (6.6.107)

da = —у2А(х, a, y)dt + у~У2В(х/с^у) dW(t)

и предположим существование следующих пределов и асимптотических разложений:

А(х, а,у)~? А*(х> а)У~”

(6.6.108)

В(х, а, у) ~ 2 ?„(*, ог)у ".

Л = 0

Из существования указанных разложений следует, что существует асимптотическое стационарное распределение а при фиксированном л:, которое дается выражением

Р,(а> х) = lim РА», х, у) (6.6.109)

У ¦“* 00

р?а, х) сс В^(х, а)~1 ехр {| da[A0(x, а)/В0(х, а)]} . (6.6.110)

Пусть А , ос ) и В0(х, а) таковы, что

<®W>i = J da aps(a, х) = 0 , (6.6.111)

так что из (6.6.108) следует, что для фиксированного у (а(х, y))s = J da aps(a, х, у) ~ а0(х)у~1 , (6.6.112)

где а0(х) может быть найдена из (6.6.108).
Приближенные методы для диффузионных процессов 289

Введем новые переменные

р = а

а0(х)

(6.6.113)

в которых оператор Фоккера — Планка (считая, как обычно, якобиан постоянным) записывается, после перехода от х, обратно кх, в виде

L = ~д~х «о(а'Ж*)

+ У2

дх

А. А

др \ у

(6.6.114)

С использованием асимптотических разложений (6.6.108) это можно записать в виде
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed