Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
dx - [«(л) 4- b{x)u(x)]clt ~ c(x)dW(t) .
(6.6.87)
В этом порядке уравнение движения не содержит флуктуационного члена, который происходил бы из уравнения для а. Тем не менее результат полного пренебрежения флуктуациями дается уравнением
(6.6.69), которое очень похоже на (6.6.87), но содержит и0(х) вместо и(х). Можно было бы предположить, что среднее значение а в стационарном состоянии будет соответствовать и0(х), но это не так: в дей-
286 Глава 6
ствительности они имеют близкие значения лишь в случае, когда шумовой член В (а) мал.
Поправки второго порядка
Уравнение (6.6.83) можно оценить до порядка у~2. На первый взгляд наличие вторых производных в L3 указывает на то, что должны появиться производные четвертого порядка, поскольку L3 встречается дважды. Мы продемонстрируем, однако, что члены четвертого порядка исчезают.
Рассмотрим выражение
P(L2 + L3)L/[L2 + (1 - P)L3]v(s) • (6.6.88)
Как известно,
1) Pv(s) = v(s)
2) (1 - P)L2Pv(s) = L2Pv(s)
(6.6.89)
(мы пользуемся тем, что PL^P = 0).
С учетом этого (6.6.88) принимает вид
P(L2 + L3)L~X\ 1 - P){L2 + L3)Pv(s) = P[PL2 + [P, L3] + L3P}
X (1 - P)Lj'( 1 - P){L2P + [L„ P] + PL3}v(s) , (6.6.90)
где коммутатор [А, В] по определению равен
[А, В] = АВ - ВА . (6.6.91)
Мы учли, что L\X коммутирует с (1 — Р), и воспользовались тем, что (1 - р)2 = (1 - Р), для того чтобы в (6.6.90) поставить еще раз (1 — Р) перед LfМы также поставили Р перед всем выражением, поскольку Р2 — Р. С использованием равенства
Р(1 _/>) = (! _ р)р = о
выражение (6.6.90) принимает вид
Р {PL2 + [Р, L3)} Ц' (1 - Р) [L2 + [L3, />]} i;(j). (6.6.92)
Вычислим теперь [Р, L3]:
(PL3f)(x, а) = рх(а)
А [а{х) + Ь{х)и{х)\
Т ix2 /Я*’ а'} da' (6.6.93)
Приближенные методы для диффузионных процессов 287
И
(L3P)f(x, а) =
~ ^.Ых) + Ь(х)и(х)]
+ J-
рх(a) J da'f(x, а') . (6.6.94)
Вычтя эти выражения и определив
г» = д?^/рЛ«) (6-6-95)
sAa) = dl^lpJa), (6.6.96)
находим
([Р, L3]f) (х, а) = rx(a)[a(x) + b(x)u(x)]Pf(x, а)
- \sAa)c{xfPf(x, а) - rx(a)P^ [dxffix, «)] . (6.6.97)
Последний член здесь можно еще упростить, поскольку нас интересует лишь случай, когда f{x, а) это v, т. е.
Дх, а) = рх{а)р(х). (6.6.98)
Тогда
Р ~ с(хУрх{а)р{х) (6.6.99)
О х
= рх{а) ~ c{xf J da рх{а')р{х) (6.6.100)
= рх{а) ~ с(х)1р{х) . (6.6.101)
Далее, можно показать, что
Р[Р,Ьг]^0. (6.6.102)
Действительно, поскольку
\daPx(a)=\, (6.6.10?)
имеем
J da rx(a)px{a) = \ da sx{a)px{a) = 0 ,
(6.6.104)
288 Г лава 6
что доказывает справедливость (6.6.102). Таким образом, мы можем записать (6.6.92) в виде
PL2Lt! {L2 + [L3, P]}v(s), (6.6.105)
где
[L3, -Р№) = pja) {rx(a)[a(x) + b(x)u(x)] — ^sja)c(x)2} p(x)
+ Px(a)rja) ~ [c(x)2p(x)] . (6.6.106)
6.6.4. ПРИМЕР С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ Рассмотрим пару уравнений
dx = yb{x)adt (6.6.107)
da = —у2А(х, a, y)dt + у~У2В(х/с^у) dW(t)
и предположим существование следующих пределов и асимптотических разложений:
А(х, а,у)~? А*(х> а)У~”
(6.6.108)
В(х, а, у) ~ 2 ?„(*, ог)у ".
Л = 0
Из существования указанных разложений следует, что существует асимптотическое стационарное распределение а при фиксированном л:, которое дается выражением
Р,(а> х) = lim РА», х, у) (6.6.109)
У ¦“* 00
р?а, х) сс В^(х, а)~1 ехр {| da[A0(x, а)/В0(х, а)]} . (6.6.110)
Пусть А , ос ) и В0(х, а) таковы, что
<®W>i = J da aps(a, х) = 0 , (6.6.111)
так что из (6.6.108) следует, что для фиксированного у (а(х, y))s = J da aps(a, х, у) ~ а0(х)у~1 , (6.6.112)
где а0(х) может быть найдена из (6.6.108).
Приближенные методы для диффузионных процессов 289
Введем новые переменные
р = а
а0(х)
(6.6.113)
в которых оператор Фоккера — Планка (считая, как обычно, якобиан постоянным) записывается, после перехода от х, обратно кх, в виде
L = ~д~х «о(а'Ж*)
+ У2
дх
А. А
др \ у
(6.6.114)
С использованием асимптотических разложений (6.6.108) это можно записать в виде