Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
где f(u, у) — произвольная функция. Читатель может легко убедиться, что
Для векторного пространства всех функций и и у Р есть оператор, который проектирует любой вектор на подпространство всех векторов, которые могут быть представлены в виде
Р(У, t) = J du p{ii, у, t),
(6.4.22)
(6.4.23)
т. е. на
(2л) 1/2 ехр ( — $и2).
(6.4.24)
(рЛ {и, у) = (2л) 1,2 ехр (~4м2) J duf(u, у),
(6.4.25)
Р2 = Р .
(6.4.26)
8(ч, У) = (2л)-1/2 ехр (-?«2) ё(у),
(6.4.27)
252 Глава 6
где g(y) есть произвольная функция у. Однако все функции вида
(6.4.27) есть решения уравнения
Lig = 0 . (6.4.28)
Другими словами, пространство, на которое Р проектирует векторы, есть нуль-пространство L{. Заметим также, что в данном случае
Р = lim [exp (Z-iO] •
(6.4.29)
Чтобы доказать это, разложим любую функцию и и у по собственным функциям Рх(и) из Lj, как это было сделано в разд. 5.2.5:
f(u, у) = 2 Ах(у) Рк{и), (6.4.30)
X
где
Ах(у) = J du Qk(u)f{u, у). (6.4.31)
Тогда
lim [exp (L, t) f(u, у)] = ? Ax(y) lim e~x,Px(u) (6.4.32)
Г—оо X Г—»
= PQ{u) J du Q0(u) f(u, y). (6.4.33)
Учитывая, что для этого процесса (процесса Орнштейна — Уленбека) Р0(и) = (2л)~иг exp (- iи2) (6.4.34) •
Оо{и) = 1 , (6.4.35)
приходим к (6.4.29).
Для данного случая, как и для всех прочих ситуаций, мы Также имеем основное равенство
PL2P = 0.
(6.4.36)
Действительно, рассматривая РЬ^Р/{и, у), мы видим, что по определению L-f>f{u, у) пропорционально
и exp(-i«2) ос Р}(и), (6.4.37)
И
РРМ = 0, (6.4.38)
в чем можно убедиться прямой подстановкой или же заметив, что
Приближенные методы для диффузионных процессов
Рг(и) не принадлежит нуль-пространству L,. Определим v = Рр
w = (1 - Р)р , так что
р — v + w ,
и v принадлежит нуль-пространству L,, a w нет.
Теперь мы видим, что в силу (6.4.29)
PL\
UP
О,
и из исходного уравнения получаем
dv dt
— P(yLj + L2)p
= P(yL, + L2)[Pp + (1 - P)p]
= PL2( 1 - P)p ,
(где мы воспользовались (6.4.41) и (6.4.36)) и, далее
dv
dt
= PL2w .
Аналогично
dw ~dt
(1- P)(yL, + L2)p = (1 - P№x + L2)IPP + (1 - P)P)
= yL.O - P)p + (1 - P)L2( 1 - P)p + (1 - P)L2Pp , и, учитывая, что P L2P = 0, имеем
j I /1
— = yLlW + (1
P)L2w + L2v .
6.4.2. РЕШЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Для решения фундаментальных уравнений (6.4.42, 44) могут использоваться различные итерационные методы. Однако, поскольку эти уравнения линейны, очень удобным может оказаться решение путем применения преобразования Лапласа, которое легко поддается разложению с помощью теории возмущений.
254 Глава 6
Преобразование Лапласа для любой функции времени f(t) определяется как
/(5) = |е-"/(0^, (6.4.45)
О
и его можно без труда распространить на операторы и абстрактные векторы. С использованием
J e~"f = sf(s)-f(0) (6.4.46)
наши фундаментальные уравнения принимают вид
s v(s) = PL2w(s) + г>(0), (6.4.47)
J w(s) = [уLi + (I - P)L2]w(0 + Lz-v(s) + w'(0).
Эти уравнения представляют собой линейные операторные уравнения, формальное решение которых не представляет сложности. Для простоты допустим сначала, что
н'(О) = 0, (6.4.48)
Это означает, что начальное распределение предполагается в виде
р{и,у, 0) = (2Tt)-1/2exp(~i«2)p(j, 0); (6.4.49)
иначе говоря, мы предполагаем начальное распределение скорости и максвелловским. Тогда формально мы имеем
w(s) = [s- уЦ - (1 - P)L2]~lL2v(s), (6.4.50)
откуда
(6.4.51)
5 v(s) = PL2[s — уЦ — (1 — P)L2] 1L2v(s) + v(0).
Таким образом, по крайней мере формально мы получили полное решение задачи. Для всякого конечного s мы можем перейти к пределу больших у и найти
5 v(s) ~ —y~1PL2Li'L1v(s) + г>(0) . (6.4.52)
Заметим, что L’1 существует не всегда. Из (6.4.36) мы знаем, что
PL2v(s) = PL2P p(s) = 0 . (6.4.53)
Следовательно, в L^j(s) не входят компоненты из нуль-пространства L,, и поэтому L~lLp(s) существует.
Приближенные методы для диффузионных процессов
