Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 99

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 185 >> Следующая


(6.6.38)
Приближенные методы для диффузионных процессов 279

X =

— ЕХ —

(6.6.39)

к

Основная цель модели состоит в получении кубической формы в правой части (6.6.39).

Осуществляя переход к стохастической системе, мы обнаруживаем, что для этого существует несколько возможностей. Обычным условием применимости адиабатического исключения является

В стохастическом случае в игру вступают и все остальные параметры, и условие (6.6.40) может быть реализовано по меньшей мере тремя различными способами, которые приведут к различным результатам. Выпишем стохастический вариант уравнений (6.6.36, 37):

dx = — (ex + axa)dt + С dW/t)

da = (—ка + bx2)dt + D dW2(t) .

Здесь для простоты мы считаем, что С и D константы, a Wt(t) и W2(t) не зависят друг от друга.

Уравнение Фоккера — Планка имеет вид

и мы хотим исключить а. Удобно ввести новую переменную

которая при фиксированном х имеет нулевое среднее значение. Уравнение Фоккера — Планка для этой переменной имеет вид

(6.6.40)

(6.6.41)

(6.6.42)

(6.6.43)

= (Ц + Ц + Ц)р

(6.6.44)

(6.6.45)

(6.6.46)
280 Г лава 6

ПЁХ + а±Л+С1*:

дх \ + к ) + 2 дх2

(6.6.47)

В этих переменных предел е — 0 не представляет интереса, поскольку мы получим ту же систему с е = 0. Исключение переменной оказывается невозможным, так как L} не умножается на большой параметр.

Для того чтобы в детерминистическом смысле предел е — 0 означал, что (6.6.39) имеет силу как предельная форма, должно существовать А, такое, что

аЬ Л

— = еА , когда е —¦ 0.

* (6.6.49)

Для того чтобы этот предел можно было распознать в детерминистическом смысле, он не должен быть «забит» шумом, и это приводит нас к условию

С2

— = еВ, когда е — 0 , А не зависит от е. (6.6.48)

2

что означает

а-

3_(x + Axi) + B?L

когда е — 0. (6.6.50)

Для L\, однако, существует, две возможности. Чтобы L \ не зависел от

е, к не должно зависеть от е, что вполне естественно. Таким образом, предел (6.6.48) должен достигаться за счет того, что произведение ab пропорционально е. Рассмотрим различные возможные ситуации.

а) Тихое подчинение: а пропорционально е Допустим, что

а = еа. (6.6.51)

Мы видим, что не зависит от ?, в то время как L\ и пропорциональны е. Если изменить масштаб времени

т = at, (6.6.52)

то

(6.6.53)
Приближенные методы для диффузионных процессов 281

где

L. = Ц

Ь2 = L°/? L3 = L°/e .

(6.6.54)

Стандартная процедура исключения дает нам с точностью до низшего

поскольку Ьг не уходит в бесконечность при е — 0.

Полученный результат в точности соответствует адиабатическому исключению а, когда мы игнорируем флуктуации величины а и просто подставляем детерминированное значение в уравнение для*. Я называю это «тихим подчинением», поскольку (в терминологии Хакена) а подчиняется i и не дает вклада в шум в уравнении для х. Это, по Хакену, обычная форма подчинения.

б) Шумное подчинение: а пропорционально е|/2 Допустим теперь, что как а, так и b пропорциональны е|/2:

порядка

(6.6.55)

а = ае'11

(6.6.56)

Ъ = Be112,

где

аВ = кА .

(6.6.57)

L°{ остается постоянным, L \ пропорционален е, а

L° — eV2L2 + члены высших порядков по е,

(6.6.58)

где

(6.6.59)

Таким образом, предельное уравнение имеет вид

и?={Ц- РЬ2Ц'Ь2)р

(6.6.60)
282 Глава 6

Член PL^X xL2 можно найти так же, как это сделано выше; получим

г, г г 1 г -2 D1 д д

PL2L^L2 = а 2^2 fa х

(6.6.61)

др д -
Зт дх

а2Р2 2 к2

+ Ах3

?. дх2

+ -I..2

(6.6.62)

Я называю это «шумным подчинением», поскольку подчиняемая переменная обнаруживает свое присутствие в получаемом уравнении, увеличивая шум (и влияя на снос, хотя последнее заметно лишь в приводимой здесь форме Ито — в форме Стратоновича дополнительный снос не проявляется).

в) Общий случай

Коль скоро мы предполагаем, что ab ~ с, второй и третий члены в

(6.6.46) всегда пропорциональны ер, гаер > 1, и поэтому ими можно пренебречь (если b ограничена). Таким образом, существенным в L\ является лишь первый член. В таком случае если
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed