Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(6.6.38)
Приближенные методы для диффузионных процессов 279
X =
— ЕХ —
(6.6.39)
к
Основная цель модели состоит в получении кубической формы в правой части (6.6.39).
Осуществляя переход к стохастической системе, мы обнаруживаем, что для этого существует несколько возможностей. Обычным условием применимости адиабатического исключения является
В стохастическом случае в игру вступают и все остальные параметры, и условие (6.6.40) может быть реализовано по меньшей мере тремя различными способами, которые приведут к различным результатам. Выпишем стохастический вариант уравнений (6.6.36, 37):
dx = — (ex + axa)dt + С dW/t)
da = (—ка + bx2)dt + D dW2(t) .
Здесь для простоты мы считаем, что С и D константы, a Wt(t) и W2(t) не зависят друг от друга.
Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
и мы хотим исключить а. Удобно ввести новую переменную
которая при фиксированном х имеет нулевое среднее значение. Уравнение Фоккера — Планка для этой переменной имеет вид
(6.6.40)
(6.6.41)
(6.6.42)
(6.6.43)
= (Ц + Ц + Ц)р
(6.6.44)
(6.6.45)
(6.6.46)
280 Г лава 6
ПЁХ + а±Л+С1*:
дх \ + к ) + 2 дх2
(6.6.47)
В этих переменных предел е — 0 не представляет интереса, поскольку мы получим ту же систему с е = 0. Исключение переменной оказывается невозможным, так как L} не умножается на большой параметр.
Для того чтобы в детерминистическом смысле предел е — 0 означал, что (6.6.39) имеет силу как предельная форма, должно существовать А, такое, что
аЬ Л
— = еА , когда е —¦ 0.
* (6.6.49)
Для того чтобы этот предел можно было распознать в детерминистическом смысле, он не должен быть «забит» шумом, и это приводит нас к условию
С2
— = еВ, когда е — 0 , А не зависит от е. (6.6.48)
2
что означает
а-
3_(x + Axi) + B?L
когда е — 0. (6.6.50)
Для L\, однако, существует, две возможности. Чтобы L \ не зависел от
е, к не должно зависеть от е, что вполне естественно. Таким образом, предел (6.6.48) должен достигаться за счет того, что произведение ab пропорционально е. Рассмотрим различные возможные ситуации.
а) Тихое подчинение: а пропорционально е Допустим, что
а = еа. (6.6.51)
Мы видим, что не зависит от ?, в то время как L\ и пропорциональны е. Если изменить масштаб времени
т = at, (6.6.52)
то
(6.6.53)
Приближенные методы для диффузионных процессов 281
где
L. = Ц
Ь2 = L°/? L3 = L°/e .
(6.6.54)
Стандартная процедура исключения дает нам с точностью до низшего
поскольку Ьг не уходит в бесконечность при е — 0.
Полученный результат в точности соответствует адиабатическому исключению а, когда мы игнорируем флуктуации величины а и просто подставляем детерминированное значение в уравнение для*. Я называю это «тихим подчинением», поскольку (в терминологии Хакена) а подчиняется i и не дает вклада в шум в уравнении для х. Это, по Хакену, обычная форма подчинения.
б) Шумное подчинение: а пропорционально е|/2 Допустим теперь, что как а, так и b пропорциональны е|/2:
порядка
(6.6.55)
а = ае'11
(6.6.56)
Ъ = Be112,
где
аВ = кА .
(6.6.57)
L°{ остается постоянным, L \ пропорционален е, а
L° — eV2L2 + члены высших порядков по е,
(6.6.58)
где
(6.6.59)
Таким образом, предельное уравнение имеет вид
и?={Ц- РЬ2Ц'Ь2)р
(6.6.60)
282 Глава 6
Член PL^X xL2 можно найти так же, как это сделано выше; получим
г, г г 1 г -2 D1 д д
PL2L^L2 = а 2^2 fa х
(6.6.61)
др д -
Зт дх
а2Р2 2 к2
+ Ах3
?. дх2
+ -I..2
(6.6.62)
Я называю это «шумным подчинением», поскольку подчиняемая переменная обнаруживает свое присутствие в получаемом уравнении, увеличивая шум (и влияя на снос, хотя последнее заметно лишь в приводимой здесь форме Ито — в форме Стратоновича дополнительный снос не проявляется).
в) Общий случай
Коль скоро мы предполагаем, что ab ~ с, второй и третий члены в
(6.6.46) всегда пропорциональны ер, гаер > 1, и поэтому ими можно пренебречь (если b ограничена). Таким образом, существенным в L\ является лишь первый член. В таком случае если