Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
меняет дело. Теперь коэффициенты сноса и диффузии становятся пропорциональны а, и мы видим, что (здесь мы пишем х вместо *[)
^=[yLl + y'l*Uy) + Li]p>
(6.6.13)
где
д о - д2
+ Se-a^2
дх r4‘‘al- \а _|_ 4у-1/2 ?2
+ -г“'Ь ~ > ~'2е2а ^2
Z? дхда
д2 а да2
+ у~-
Г Га
да2
(6.6.14)
(6.6.15)
276 Глава 6
(6.6.16)
Заметим, что предел больших у для L2(y) определяется первым членом в первой строке (6.6.15). Единственным важным свойством L2 является то, что PL-^P = 0. Определяя, как обычно, Р через
где р%(а) есть стационарное решение для Lv мы видим, что для всякого оператора, начинающегося с д/да (как, например, зависящая от у часть L2(y)), справедливо
при условии, что мы можем отбросить граничные члены. Следовательно, зависящая от у часть L2(y) удовлетворяет условию PLJP = 0. Далее, из (6.6.14) следует, что <а>5 = 0, так что не зависящая от у часть также удовлетворяет этому условию. Таким образом,
Стоит заметить, однако, что зависящая от у часть L2 содержит члены, которые выглядели бы более естественно в L, (мы имеем в виду члены, не содержащие производных пох). Но переместив эти члены в L2, мы обеспечиваем независимость L, от у, тогдаР не зависит от 7 и. пределы становятся яснее.
Дальнейшие вычисления довольно просты. Определив, как обычно,
РДх, а) -- ps(a) J dot'Д.х, а')
(6.6.17)
(6 6.18)
PL2(y)P = 0 .
(6.6.19)
Pp(s) = ?(.?)
(1 - P)p(s) = w(s),
и, как обычно, считая н’(О) = 0, находим
sv(s) — P[yLx -f ylnL2(y) + L3] [v(.s') + w(i)] + f(0).
Пользуясь тем, что
PLX = LXP = 0
PL2P = 0
PLi = L3P,
(6.6.20)
(6.6.21)
(6.6.22)
получим
i v(s) = PyV2L2(y)w(s) + L3v(s) + u(0)
(6.6.23)
Приближенные методы для диффузионных процессов 277
и аналогично
sw(i) = [yL 1 + у1,2( I — P)L2(y) -Г - "/ :1L2(y)v(s)t
(6.6.24)
откуда
sv(s) = {Lз + yPL2(y)[s - }'L, - у'/2( 1 ~ /,)^2(>’) - L3] lL2}v(s)
+ v(0) .
Переходя теперь к пределу 7—00, получаем
(6.6.25)
sv(s) ~ (Ц — PL2Lt 'L2)v(s) + v(0),
(6.6.26)
где
(6.6.27)
Уравнение (6.6.26) в точности совпадает по виду с (6.5.28); впрочем, и его формальный вывод из (6.6.7) почти идентичен. Однако оценка PL2L[lL2 осуществляется несколько по-иному из-за наличия членов, включающих д/да. Заметим, во-первых, что, поскольку Р д/да = О, мы можем записать
(6.6.28)
а в силу определения ps(a) через Lj)s(a) = 0 и формулы (6.6.14)
где мы воспользовались рассуждениями, проведенными в разд. 6.5, чтобы записать результат через корреляционную функцию. Здесь оператор Z.J соответствует процессу Орнштейна — Уленбека (см. разд.
3.8.4) с к = 2, D - \6е2а, так что с учетом (3.8.2)
да
Л
— />,(«) = --apj,a)j№a
(6.6.29)
и тогда
1 д2
~PL2Li1L2v = -^-ps(a) ^~2 J daa'Li'apXa')p(x) = - I РЛа) д-^Р J dt <a(t )a(0)>s ,
(6.6.30)
(6.6.31)
d2p(x)
278 Глава 6
Таким образом, из (6.6.26) мы можем записать уравнение Фоккера Планка в виде
др д х — а 1 , дгр
Ш-Гх-Гр^+2газ^-
(6.6.33)
Замечания
1) Именно такое уравнение должно соответствовать реакции
к/2
Х^^А, (6.6.34)
к/2
где к = 1 (разд. 7.5.3), поскольку из общих соображений следует, что стационарное значение дисперсии для флуктуаций концентрации дается выражением
var {*(/)} s = ?2<*>s . (6.6.35)
2) Заметим, что суммарный эффект адиабатического исключения сводится к уменьшению коэффициента при д2/дх2, что является результатом корреляции между шумовыми членами для переменных х и у в исходных уравнениях.
3) Полученный результат отличается от обычного адиабатического исключения тем, что шумовой источник, зависящий от исключаемой переменной, существен. В некоторых случаях это не так; подобный ' пример мы рассмотрим в дальнейшем.
6.6.2. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ В МОДЕЛИ ХАКЕНА
Хакен предложил простую модель для демонстрации принципа адиабатического исключения (разд. 7.2 в [6.1]). Детерминистический вариант этой модели представляет собой пару связанных уравнений, которые можно записать в виде
х = —ех — аха , (6.6.36)
а = — ка г Ъхг . (6.6.37)
Предполагается, что если к достаточно велико, то, как и прежде, мы можем заменить а стационарным решением (6.6.37) относительно х и получить
Ь
К
X
У
