Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
L — Z-з + yL2(y) + y1Lx , где
U = - у а0(х)Ь(х)
Lx = щ^Ао(0, х) + ^2Вй(Р, х) L2(y) = L2 + 0(у~‘)
(6.6.115)
(6.6.116)
(6.6.117)
(6.6.118)
дА0(Р, х)
. эр гзв0(р, х)
зр1L эр
а0(х) + At(P,x) а0(х) + ВХ(Р, х)
(6.6.119)
Заметим, что Li и L, не коммутируют, но как и в разд. 6.5.4, это не влияет на предельный_результат:
др
dt
(L} PL2LX 'L2)p .
(6.6.120)
Вычисление члена PL^L, lL2 несложно, но громоздко. Заметим, что после применения к ним оператора Р члены, содержащие Э/Э/3, ис-
290 Г лава 6
чезают. Используя явный вид ps(a, х), можно определить G(/3, х) как
д_
ЗР
дА0(Р, х)
+
аР д2
а0(х) + Л,(А х)
Р. (Р, х)
др2
дВ0(Р, X)
др
а0(х) + ВХ(Р, х)
Psifii *)— Gift, х)рХР, х) > (6.6.121)
и тогда мы получим
PLiLt — где
fxb(x)D(x)lxb(x) + lxb(x)E(x)
D{x)= ]d«m /К0)|х>
(6.6.122)
(6.6.123)
E(x)=]dt(p(t),G(P,x)\x)
(здесь <. . . 1 лг> обозначает среднее по ps( 13, х)). Полученные результаты являются довольно сильным результатом адиабатического исключения, причем можно произвести произвольное нелинейное исключение и получить конечный шум. Вычисления оказываются более простыми, чем в предыдущем разделе, поскольку члены, включающие ?3, имеют более низкий порядок, чем члены, включающие L2.
7
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы
Часто случается, что поведение системы, содержащей частицы или индивидуальные объекты (животные, бактерии и т. п.), весьма правдоподобно описывается с помощью скачкообразного процесса. В таких случаях мы обнаруживаем, как уже упоминалось в разд. 1.1, что в соответствующем пределе возникают макроскопические детерминистические законы движения, а случайный характер процесса обусловливает флуктуирующую добавку. Однако и детерминированное движение, и флуктуации возникают как следствие из одного и того же описания посредством отдельных скачков или переходов. В этом отношении описание с помощью скачкообразного процесса (и соответствующего управляющего уравнения) оказывается очень успешным.
С другой стороны, мы можем построить приближенную модель подобной системы на базе стохастических дифференциальных уравнений, в которых детерминированное движение и флуктуации имеют полностью независимое происхождение. В такой модели независимое описание флуктуаций и детерминированного движения создает осложнения, и для получения некоторой информации о флуктуациях необходимо привлечение флуктуационно-диссипационной теоремы. С этой точки зрения использование управляющего уравнения позволяет дать гораздо более полное описание.
Тем не менее существование макроскопических детерминистических законов является очень важным результатом, и в этой главе мы покажем, что часто существует предел, в котором решение управляющего уравнения может асимптотически аппроксимироваться (в терминах большого параметра П, отвечающего размеру системы) детерминированной частью (которая представляет собой решение детерминистического дифференциального уравнения), на которую накладывается флуктуационная часть, описываемая стохастическим дифференциальным уравнением, коэффициенты которого получаются из исходного управляющего уравнения. О подобных асимптотических разложениях уже упоминалось в разд. 3.8.3, где мы имели дело с простейшим скачкообразным процессом — процессом Пуассона, а в деталях разберем этот вопрос в разд. 7.2.
292 Глава 7
В результате мы придем к довольно простым правилам, для написания уравнений Фоккера — Планка, эквивалентных (в асимптотическом приближении) управляющим уравнениям. Более того, на практике нередко бывает очень просто записать требуемое приближенное уравнение Фоккера — Планка, даже не формулируя само управляющее уравнение. Существует несколько равноправных способов формулировки уравнения Фоккера — Планка в первом приближении, однако пока что найден лишь один надежный путь, ведущий к разложению по степеням П-1 — разложение ван Кампена по обратному размеру системы.
Глава завершается изложением представления Пуассона. Этот метод, разработанный автором с сотрудниками, позволяет построить для некоторого класса управляющих уравнений уравнение Фоккера — Планка, в точности эквивалентное управляющему уравнению. В этом частном случае разложение по обратному размеру системы возникает как разложение по малому шуму для уравнения Фоккера — Планка в представлении Пуассона.
7.1. УПРАВЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ: ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Одномерный прототип всех систем типа рождения — гибели представляет собой систему особей вида X, количество которых х может принимать неотрицательные целочисленные значения. Нам приходится рассматривать условную вероятность/3^, t\x, t') и соответствующее управляющее уравнение. Обычно принимается, что в ходе одного события может возникать (рождаться) или исчезать (погибать) лишь конечное число особей. В простейшем случае рождения и гибели особей X являются единичными событиями с зависящей от времени вероятностью, так что вероятность перехода может быть записана в виде
