Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Приближенные методы для диффузионных процессов 265
стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича с теми же коэффициентами, т. е. в уравнение
(5) dx = a(x)dt + b{x)dW{t), (6.5.2)
которому эквивалентно уравнение Ито
dx = [а(х) + \b{x)b'{x)]dt + b(x)dmt). (0.5.3)
Для перехода к дельта-коррелированному марковскому процессу нам
необходимо найти предел при у — оо для
«о(0 = Уа(У20 > (6.5.4)
где а (г) есть стационарный случайный процесс с
<ог(т)> = 0 (6.5.5)
<ог(т)ог(0)>5 = g(т) . (6.5.6)
Тогда
<«о(0> = о
<ог0(/)ог0(0)>8 = y2g(y2t). (6.5.7)
В пределе у — оо корреляционная функция превращается в дельта-
функцию. Действительно, пусть
J g(T)dr — 1 , (6.5.8)
J | т |g(r)dx = тс (6.5.9)
определяет время корреляции для процесса a(t). (Если g(r) — экспоненциальная функция, то в соответствии с определением (6.5.9)
g(t) ос ехр {—the),
что согласуется с практикой, принятой в разд. 1.4.4, 3.7.1.)
Тогда, очевидно, время корреляции для а0(т) есть тс/у2, и оно обращается в нуль при у — оо. Кроме того,
lim <а0(/)а0(0)Х = 0 (1Ф0), (6.5.10)
У-оо
266 Г лава 6
и всегда
J <ао(/)«о(0)>5Л = / g(r)ch = 1 ,
(6.5.11)
так что мы можем записать
lim <«о(/)ао(0)>. = S(t).
(6.5.12)
Таким образом, предел 7 — 00 для а0(О на самом деле соответствует пределу нормированного белого шума. Можно было бы предположить, что корреляции более высоких порядков тоже существенны, однако это не так.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда а(т) является марковским диффузионным процессом, для которого уравнение Фоккера — Планка имеет вид
Асимптотический анализ проводится аналогично тому, как это делалось в разд. 6.4.1, 6.4.3, с той разницей, что нам нужно принять во внимание оператор JL3. Аналогично разд. 6.4.1 мы определим проектор Р на пространстве функций х и а как
(6.5.13)
Соответственно УФП для (дг, а) имеет вид
а) = (у% + yL2 + L})p(x, а),
(6.5.14)
где
(6.5.15)
(Pf)(x, а) = р,(а) J daf(x, а) , где р5(а) есть решение
(6.5.16)
I-iPs(a) = О
(6.5.17)
Приближенные методы для диффузионных процессов 267
Мы предполагаем, что для стационарного распределения а среднее значение <a>s равно нулю. Это означает, что проектор Р удовлетворяет основному условию
PUP = 0 ,
поскольку
(PL2Pf)(x,a)=ps(a)jda
b(x)aps(a)
J da’flx, а')
ps(a)(a) 3 ^ Ь(х) J da f(x, а ) --¦¦¦ О
Очевидно также, что PL3 = L3P
(6.5.18)
(6.5.19)
(6.5.20)
и, как прежде,
PLX = LXP = 0 .
Определяя, как ранее, v = Рр
W = (1 - Р)р,
(6.5.21)
(6.5.22)
(6.5.23)
и используя обозначения 0, w для соответствующих преобразований Лапласа, находим
*Ф)= P(y2U + yt2 + L3)p(s) + v(0)
= yPLJLPp(s) + (1 - P)p(s)] + L3P p(s) + t7(0) откуда
s v(s) = yPL1w(s) + L3v(s) + г>(0)
и аналогично
s н>($) = [y2Lt + 7(1 — P)L2 + Z^M-?) + yL2v(s) + и’(°) •
(6.5.24)
(6.5.25)
(6.5.26)
Эти выражения отличаются от (6.4.47) лишь наличием L3v(s) в (6.5.25) и L3w в (6.5.26). Мы вновь считаем, что w(0) = 0 (т. е. a(t) — стационарный марковский процесс), так что
sv СО = L3v(s) - yPL2[—s + y2Lt + 7(1 - P)L2 + L3\~'yL2v(s) + v(0). (6.5.27)
268 Г лава 6
В пределе у — оо получаем
sv(s) ~ (L} — PL2LX 1L2)v(s) + v(0).
Вычислим теперь PL jL, yLj). Запишем v{s) = p{x)p,{a)
PL2LX 1 L2v = ps(a) J da'
-ГхЦх*
dx
b{x)a
(6.5.28)
(6.5.29) P*W)P(x). (6.5.30)
Теперь нам следует оценить J da aLi'apXa) = — D ,
(6.5.31)
а для этого требуется удобное выражение для L, 1. Рассмотрим
J ехр (Lxt')dt' = Lj1 ехр (Lxt) — L,1
О
и с учетом (6.4.29) получим
J ехр (L^) dt = —Lj'(l - Р).
О
Поскольку по предположению
Рар?а) = ps(a) J da'a'pla') = p3(a')<a)s = 0 , мы приходим к D = J da a J ехр (Llt)ap,(a) dt
О
Заметим, что ехр (Lit)ap3(a)
есть решение уравнения Фоккера — Планка
d,f= LJ
с начальным условием /(«> 0) = apt(a).
Следовательно,
ехр {Lxt)ap,(a) = J da'p(a, t\a', 0)а'р,(а') .
(6.5.32)
(6.5.33)
(6.5.34.)
(6.5.35)
(6.5.36)
(6.5.37)
(6.5.38)
(6.5.39)
Приближенные методы для диффузионных процессов 269
