Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
где
А = ~PL2L~/L2 В = PL2LT'(l - Р)Ь2Ц'Ь2 С = -РЬ2Ц\ 1 - P)L2L/(\ - P)L2L\'L2 D = PL2L-/L2.
(6.4.99)
Перегруппировав (6.4.98), получим
s2(l — y~zD)v = [A + By~x + Cy~2]v + г>(0), (6.4.100)
или, с точностью до у 2,
s2v = [А+ By-1 + (С + DA)y~2\v + (1 + y~2D)v(0) . (6.4.101)
Это дает нам преобразование Лапласа для уравнения движения относительно и, в котором начальным условием будет не v(0), а
262 Глава 6
(1 + y2D)u(0). Заметим, что это уравнение будет иметь первый порядок относительно времени, поскольку в него не входит s2 для п > 1. Разумеется, это невозможно, если проводить разложение до высших порядков по у.
б) Приложение к броуновскому движению
Для броуновского движения мы уже вычислили оператор А в (6.4.99); он дается выражением (6.4.65):
-РЬгЦ'Ьг
ду
Щу)
д
ду.
(6.4.102)
Остальные операторы можно вычислить аналогичным образом. Например, из (6.4.63, 64)
ЦЦ'Ь,
Ро(и) + а/ 2 Рг(и)
Умножение на (1 — Р) устраняет член с Р0, а последующее умножение на L\~1 умножает на — 1/2. Таким образом,
Lr!(I - Р)ццчг = у/г р2(и)
и'(у)
ду_
Теперь, умножая на L2, воспользуемся рекуррентными формулами для многочленов Эрмита (6.4.60, 61); получаем
L2P 2(и)
(6.4.103)
у/ 3 U'(y)P3(w)
ду
у/'Ъ Ръ(и) + у/ 2 Рi(w)
Наконец, умножение на Р уничтожает все члены, поскольку Р0(и) не входит в выражение. Следовательно,
В = Р1.гЦ'(\ - P)L2L\XL2 = 0 .
(6.4.104)
Так же вычисляются С и DA.
Приближенные методы для диффузионных процессов 263
Находим, что
c = il
ду2
и
DA = -откуда С ZM
С? V
О Гг;,, ч , 3 ] Э . , Э
г- ?/'(>’) -!- д- ! Х-. ?/ (>’) -г 57.
ду l о} j ду ^ ду
¦?-и"(у)Ги'(у) + Д-J
or 01’ !
и (6.4.101) эквивалентно дифференциальному уравнению
с начальным условием
л
О
lim р(у, О f-0
ц-2 .
ду
U'(y)
д_
dv
Р(у, 0) •
(6.4.105)
(6.4.106)
(6.4.107)
(6.4.108)
(6.4.109)
Изменение начального условия отражает феномен «пограничного слоя». Уравнение (6.4.108) имеет силу для / > у~х и известно как уточненное уравнение Смолуховского.
Точное решение будет описывать временной ход вплоть до / ~ у~1 и должно включать члены типа ехр(— yt). Рассматриваемая ситуация иллюстрируется рис. 6.1, и «пограничный слой» вблизи t ~ у~х объясняется новым начальным условием.
Рис. 6.1. Образование пограничного слоя. Точное решение (сплошная линия) быстро изменяется вблизи границы слева. Приближенное решение является удовлетворительным всюду, за исключением приграничной области. Поэтому в качестве граничного условия для приближения выбирается меньшее значение, соответствующее точке, где прямая пересекается с границей.
264 Г лава 6
в) Граничные условия
Получение обусловленных граничными условиями решений высших порядков методами этого раздела невозможно, так как вблизи границы возникает слой быстрого изменения по переменной а-, и предположение об ограниченности оператора д/ду оказывается необоснованным. Значительный шаг вперед был сделан Титулаэром и его коллегами [6.10—12]. Пусть граница находится в у — 0. Тогда мы можем подставить в уравнение Крамерса (6.4.19) г = уу, г = yt и получить
дР
дг
д / д
r + jW( z/?)i? (6.4.110)
Тогда задача нулевого порядка оказывается решением той части уравнения, которая не зависит от 7: в этот порядок потенциал не входит. До сих пор удалось получить лишь стационарное решение (6.4.110). Можно показать, что стационарное решение (6.4.110) в пределе у оо может быть записано в виде
ОО
Р (и, z) = у'о (и, z) + dl у/(и, г)+? ds„ ц>„ (и, z) (6.4. Ill)
л=1 5
где
щ (и, г) = (2 л)"1/2 ехр (- у и2) (6.4.112)
у/о (и, z) = (2 л)~1/2 (z - и) ехр (- } и2)> (6.4.113)
а ф (и, z) являются некоторыми сложными функциями, связанными с эрмитовыми полиномами. Задача определения коэффициентов c/,s, не так проста, и за подробностями читатель может обратиться к [6.12]. Установлено, что решение имеет бесконечную производную в точке z = 0, а для малых z имеет вид а + bzw2.
6.5. БЕЛЫЙ ШУМ КАК ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ КОРРЕЛИРОВАННОГО ПРОЦЕССА
О связи между реальным и белым шумом уже упоминалось в разд. 1.4.4 и 4.1. Нас интересует предел дифференциального уравнения
” = а(х) + b(x)a0(t), (6.5.1)
at
где aQ(t ) — стохастический источник с некоторым ненулевым временем корреляции. Мы покажем, что если a0(t) представляет собой марковский процесс, то в пределе, когда он переходит в дельта-коррелированный процесс, дифференциальное уравнение превращается в
